Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 445 / 570
↖ ↑ ↗
← N 78.170582°
W140.888672°		 ← 2 003.45 m → N 78.170582°
W140.800781°		 →
↑
2 004.95 m
↓
↑
2 004.95 m
↓
N 78.152551°
W140.888672°		 ← 2 006.46 m →
4 019 839 m²		 N 78.152551°
W140.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1087646484375 y=0.1392822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1087646484375 × 212)
    floor (0.1087646484375 × 4096)
    floor (445.5)     		tx = 445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1392822265625 × 212)
    floor (0.1392822265625 × 4096)
    floor (570.5)     		ty = 570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 445 / 570 ti = "12/445/570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/445/570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 445 ÷ 212
    445 ÷ 4096     		x = 0.108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 570 ÷ 212
    570 ÷ 4096     		y = 0.13916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.78271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45897120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13916015625 × 2 - 1) × π
    0.7216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26722360443018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45897120} λ = -2.45897120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26722360443018))-π/2
    2×atan(9.65256424024529)-π/2
    2×1.46756518262067-π/2
    2.93513036524134-1.57079632675     		φ = 1.36433404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45897120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36433404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.170582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 445 KachelY 570 -2.45897120 1.36433404 -140.888672 78.170582
    Oben rechts KachelX + 1 446 KachelY 570 -2.45743722 1.36433404 -140.800781 78.170582
    Unten links KachelX 445 KachelY + 1 571 -2.45897120 1.36401934 -140.888672 78.152551
    Unten rechts KachelX + 1 446 KachelY + 1 571 -2.45743722 1.36401934 -140.800781 78.152551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36433404-1.36401934) × R
    0.00031469999999989 × 6371000     		dl = 2004.9536999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36433404-1.36401934) × R
    0.00031469999999989 × 6371000     		dr = 2004.9536999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45897120--2.45743722) × cos(1.36433404) × R
    0.00153398000000005 × 0.204998609701595 × 6371000     		do = 2003.4486615324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45897120--2.45743722) × cos(1.36401934) × R
    0.00153398000000005 × 0.205306616029956 × 6371000     		du = 2006.45880324603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36433404)-sin(1.36401934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204998609701595-0.205306616029956)×R²
    abs(-2.45743722--2.45897120)×0.000308006328361116×R²
    0.00153398000000005×0.000308006328361116×6371000²
    0.00153398000000005×0.000308006328361116×40589641000000     		ar = 4019839.43725634m²