Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44495 / 95667
↖ ↑ ↗
← S 63.454192°
W 57.790832°		 ← 136.47 m → S 63.454192°
W 57.788086°		 →
↑
136.53 m
↓
↑
136.53 m
↓
S 63.455420°
W 57.790832°		 ← 136.46 m →
18 632 m²		 S 63.455420°
W 57.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339473724365234 y=0.729885101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339473724365234 × 217)
    floor (0.339473724365234 × 131072)
    floor (44495.5)     		tx = 44495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729885101318359 × 217)
    floor (0.729885101318359 × 131072)
    floor (95667.5)     		ty = 95667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44495 / 95667 ti = "17/44495/95667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44495/95667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44495 ÷ 217
    44495 ÷ 131072     		x = 0.339469909667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95667 ÷ 217
    95667 ÷ 131072     		y = 0.729881286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339469909667969 × 2 - 1) × π
    -0.321060180664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.00864030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729881286621094 × 2 - 1) × π
    -0.459762573242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.44438672245191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00864030} λ = -1.00864030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44438672245191))-π/2
    2×atan(0.235890698673881)-π/2
    2×0.231655876931112-π/2
    0.463311753862224-1.57079632675     		φ = -1.10748457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00864030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.790832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10748457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.454192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44495 KachelY 95667 -1.00864030 -1.10748457 -57.790832 -63.454192
    Oben rechts KachelX + 1 44496 KachelY 95667 -1.00859237 -1.10748457 -57.788086 -63.454192
    Unten links KachelX 44495 KachelY + 1 95668 -1.00864030 -1.10750600 -57.790832 -63.455420
    Unten rechts KachelX + 1 44496 KachelY + 1 95668 -1.00859237 -1.10750600 -57.788086 -63.455420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10748457--1.10750600) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dl = 136.530530000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10748457--1.10750600) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dr = 136.530530000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00864030--1.00859237) × cos(-1.10748457) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.446913174938373 × 6371000     		do = 136.47031433301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00864030--1.00859237) × cos(-1.10750600) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.446894004043395 × 6371000     		du = 136.464460269603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10748457)-sin(-1.10750600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446913174938373-0.446894004043395)×R²
    abs(-1.00859237--1.00864030)×1.91708949781044e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91708949781044e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91708949781044e-05×40589641000000     		ar = 18631.9647168486m²