Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44494 / 95666
↖ ↑ ↗
← S 63.452964°
W 57.793579°		 ← 136.50 m → S 63.452964°
W 57.790832°		 →
↑
136.47 m
↓
↑
136.47 m
↓
S 63.454192°
W 57.793579°		 ← 136.50 m →
18 628 m²		 S 63.454192°
W 57.790832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339466094970703 y=0.729877471923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339466094970703 × 217)
    floor (0.339466094970703 × 131072)
    floor (44494.5)     		tx = 44494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729877471923828 × 217)
    floor (0.729877471923828 × 131072)
    floor (95666.5)     		ty = 95666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44494 / 95666 ti = "17/44494/95666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44494/95666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44494 ÷ 217
    44494 ÷ 131072     		x = 0.339462280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95666 ÷ 217
    95666 ÷ 131072     		y = 0.729873657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339462280273438 × 2 - 1) × π
    -0.321075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00868824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729873657226562 × 2 - 1) × π
    -0.459747314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44433878555229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00868824} λ = -1.00868824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44433878555229))-π/2
    2×atan(0.235902006813661)-π/2
    2×0.231666588976733-π/2
    0.463333177953466-1.57079632675     		φ = -1.10746315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00868824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.793579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10746315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.452964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44494 KachelY 95666 -1.00868824 -1.10746315 -57.793579 -63.452964
    Oben rechts KachelX + 1 44495 KachelY 95666 -1.00864030 -1.10746315 -57.790832 -63.452964
    Unten links KachelX 44494 KachelY + 1 95667 -1.00868824 -1.10748457 -57.793579 -63.454192
    Unten rechts KachelX + 1 44495 KachelY + 1 95667 -1.00864030 -1.10748457 -57.790832 -63.454192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10746315--1.10748457) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000     		dl = 136.46681999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10746315--1.10748457) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000     		dr = 136.46681999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00868824--1.00864030) × cos(-1.10746315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446932336682431 × 6371000     		do = 136.504639661071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00868824--1.00864030) × cos(-1.10748457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446913174938373 × 6371000     		du = 136.498787171212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10746315)-sin(-1.10748457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446932336682431-0.446913174938373)×R²
    abs(-1.00864030--1.00868824)×1.91617440577496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91617440577496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91617440577496e-05×40589641000000     		ar = 18627.9547549289m²