Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4449 / 13022
↖ ↑ ↗
← S 72.168352°
W 82.243652°		 ← 748.16 m → S 72.168352°
W 82.221680°		 →
↑
748.02 m
↓
↑
748.02 m
↓
S 72.175079°
W 82.243652°		 ← 747.89 m →
559 539 m²		 S 72.175079°
W 82.221680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271575927734375 y=0.794830322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271575927734375 × 214)
    floor (0.271575927734375 × 16384)
    floor (4449.5)     		tx = 4449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794830322265625 × 214)
    floor (0.794830322265625 × 16384)
    floor (13022.5)     		ty = 13022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4449 / 13022 ti = "14/4449/13022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4449/13022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4449 ÷ 214
    4449 ÷ 16384     		x = 0.27154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13022 ÷ 214
    13022 ÷ 16384     		y = 0.7947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27154541015625 × 2 - 1) × π
    -0.4569091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43542252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85228180131897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43542252} λ = -1.43542252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85228180131897))-π/2
    2×atan(0.15687879136585)-π/2
    2×0.155610488855094-π/2
    0.311220977710189-1.57079632675     		φ = -1.25957535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43542252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.243652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25957535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.168352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4449 KachelY 13022 -1.43542252 -1.25957535 -82.243652 -72.168352
    Oben rechts KachelX + 1 4450 KachelY 13022 -1.43503903 -1.25957535 -82.221680 -72.168352
    Unten links KachelX 4449 KachelY + 1 13023 -1.43542252 -1.25969276 -82.243652 -72.175079
    Unten rechts KachelX + 1 4450 KachelY + 1 13023 -1.43503903 -1.25969276 -82.221680 -72.175079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25957535--1.25969276) × R
    0.000117410000000095 × 6371000     		dl = 748.019110000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25957535--1.25969276) × R
    0.000117410000000095 × 6371000     		dr = 748.019110000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43542252--1.43503903) × cos(-1.25957535) × R
    0.000383489999999931 × 0.306221185956077 × 6371000     		do = 748.164130539093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43542252--1.43503903) × cos(-1.25969276) × R
    0.000383489999999931 × 0.306109414176227 × 6371000     		du = 747.891048073459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25957535)-sin(-1.25969276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306221185956077-0.306109414176227)×R²
    abs(-1.43503903--1.43542252)×0.000111771779849723×R²
    0.000383489999999931×0.000111771779849723×6371000²
    0.000383489999999931×0.000111771779849723×40589641000000     		ar = 559538.932251339m²