Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4448 / 12959
↖ ↑ ↗
← S 71.739548°
W 82.265625°		 ← 765.57 m → S 71.739548°
W 82.243652°		 →
↑
765.41 m
↓
↑
765.41 m
↓
S 71.746432°
W 82.265625°		 ← 765.29 m →
585 869 m²		 S 71.746432°
W 82.243652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271514892578125 y=0.790985107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271514892578125 × 214)
    floor (0.271514892578125 × 16384)
    floor (4448.5)     		tx = 4448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790985107421875 × 214)
    floor (0.790985107421875 × 16384)
    floor (12959.5)     		ty = 12959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4448 / 12959 ti = "14/4448/12959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4448/12959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4448 ÷ 214
    4448 ÷ 16384     		x = 0.271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12959 ÷ 214
    12959 ÷ 16384     		y = 0.79095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271484375 × 2 - 1) × π
    -0.45703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43580602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79095458984375 × 2 - 1) × π
    -0.5819091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.82812160391046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43580602} λ = -1.43580602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82812160391046))-π/2
    2×atan(0.160715171170229)-π/2
    2×0.159352504065077-π/2
    0.318705008130154-1.57079632675     		φ = -1.25209132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43580602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25209132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.739548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4448 KachelY 12959 -1.43580602 -1.25209132 -82.265625 -71.739548
    Oben rechts KachelX + 1 4449 KachelY 12959 -1.43542252 -1.25209132 -82.243652 -71.739548
    Unten links KachelX 4448 KachelY + 1 12960 -1.43580602 -1.25221146 -82.265625 -71.746432
    Unten rechts KachelX + 1 4449 KachelY + 1 12960 -1.43542252 -1.25221146 -82.243652 -71.746432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25209132--1.25221146) × R
    0.000120140000000157 × 6371000     		dl = 765.411940001002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25209132--1.25221146) × R
    0.000120140000000157 × 6371000     		dr = 765.411940001002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43580602--1.43542252) × cos(-1.25209132) × R
    0.000383500000000092 × 0.313337043778047 × 6371000     		do = 765.569662316645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43580602--1.43542252) × cos(-1.25221146) × R
    0.000383500000000092 × 0.313222951529119 × 6371000     		du = 765.290903177823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25209132)-sin(-1.25221146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313337043778047-0.313222951529119)×R²
    abs(-1.43542252--1.43580602)×0.000114092248928055×R²
    0.000383500000000092×0.000114092248928055×6371000²
    0.000383500000000092×0.000114092248928055×40589641000000     		ar = 585869.478358328m²