Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4446 / 3920
↖ ↑ ↗
← N  7.710991°
E 15.380859°		 ← 4 842.31 m → N  7.710991°
E 15.424805°		 →
↑
4 842.53 m
↓
↑
4 842.53 m
↓
N  7.667442°
E 15.380859°		 ← 4 842.80 m →
23 450 238 m²		 N  7.667442°
E 15.424805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54278564453125 y=0.47857666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54278564453125 × 213)
    floor (0.54278564453125 × 8192)
    floor (4446.5)     		tx = 4446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47857666015625 × 213)
    floor (0.47857666015625 × 8192)
    floor (3920.5)     		ty = 3920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4446 / 3920 ti = "13/4446/3920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4446/3920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4446 ÷ 213
    4446 ÷ 8192     		x = 0.542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3920 ÷ 213
    3920 ÷ 8192     		y = 0.478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542724609375 × 2 - 1) × π
    0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478515625 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.134990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26844664} λ = 0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.134990309330078))-π/2
    2×atan(1.14452569307687)-π/2
    2×0.852689259886096-π/2
    1.70537851977219-1.57079632675     		φ = 0.13458219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13458219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.710991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4446 KachelY 3920 0.26844664 0.13458219 15.380859 7.710991
    Oben rechts KachelX + 1 4447 KachelY 3920 0.26921363 0.13458219 15.424805 7.710991
    Unten links KachelX 4446 KachelY + 1 3921 0.26844664 0.13382210 15.380859 7.667442
    Unten rechts KachelX + 1 4447 KachelY + 1 3921 0.26921363 0.13382210 15.424805 7.667442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13458219-0.13382210) × R
    0.000760089999999991 × 6371000     		dl = 4842.53338999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13458219-0.13382210) × R
    0.000760089999999991 × 6371000     		dr = 4842.53338999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26844664-0.26921363) × cos(0.13458219) × R
    0.000766989999999967 × 0.990957477892313 × 6371000     		do = 4842.3070663959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26844664-0.26921363) × cos(0.13382210) × R
    0.000766989999999967 × 0.991059177683065 × 6371000     		du = 4842.80402174101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13458219)-sin(0.13382210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990957477892313-0.991059177683065)×R²
    abs(0.26921363-0.26844664)×0.000101699790752585×R²
    0.000766989999999967×0.000101699790752585×6371000²
    0.000766989999999967×0.000101699790752585×40589641000000     		ar = 23450238.0440864m²