Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4446 / 3918
↖ ↑ ↗
← N  7.798079°
E 15.380859°		 ← 4 841.30 m → N  7.798079°
E 15.424805°		 →
↑
4 841.58 m
↓
↑
4 841.58 m
↓
N  7.754537°
E 15.380859°		 ← 4 841.81 m →
23 440 772 m²		 N  7.754537°
E 15.424805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54278564453125 y=0.47833251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54278564453125 × 213)
    floor (0.54278564453125 × 8192)
    floor (4446.5)     		tx = 4446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47833251953125 × 213)
    floor (0.47833251953125 × 8192)
    floor (3918.5)     		ty = 3918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4446 / 3918 ti = "13/4446/3918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4446/3918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4446 ÷ 213
    4446 ÷ 8192     		x = 0.542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3918 ÷ 213
    3918 ÷ 8192     		y = 0.478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542724609375 × 2 - 1) × π
    0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478271484375 × 2 - 1) × π
    0.04345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.13652429011792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26844664} λ = 0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.13652429011792))-π/2
    2×atan(1.14628272078007)-π/2
    2×0.853449236246132-π/2
    1.70689847249226-1.57079632675     		φ = 0.13610215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13610215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.798079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4446 KachelY 3918 0.26844664 0.13610215 15.380859 7.798079
    Oben rechts KachelX + 1 4447 KachelY 3918 0.26921363 0.13610215 15.424805 7.798079
    Unten links KachelX 4446 KachelY + 1 3919 0.26844664 0.13534221 15.380859 7.754537
    Unten rechts KachelX + 1 4447 KachelY + 1 3919 0.26921363 0.13534221 15.424805 7.754537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13610215-0.13534221) × R
    0.000759940000000014 × 6371000     		dl = 4841.57774000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13610215-0.13534221) × R
    0.000759940000000014 × 6371000     		dr = 4841.57774000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26844664-0.26921363) × cos(0.13610215) × R
    0.000766989999999967 × 0.990752390682287 × 6371000     		do = 4841.30490912025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26844664-0.26921363) × cos(0.13534221) × R
    0.000766989999999967 × 0.990855215034038 × 6371000     		du = 4841.80735962513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13610215)-sin(0.13534221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990752390682287-0.990855215034038)×R²
    abs(0.26921363-0.26844664)×0.000102824351750685×R²
    0.000766989999999967×0.000102824351750685×6371000²
    0.000766989999999967×0.000102824351750685×40589641000000     		ar = 23440771.5352439m²