Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44454 / 95642
↖ ↑ ↗
← S 63.423488°
W 57.903443°		 ← 136.65 m → S 63.423488°
W 57.900696°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
S 63.424717°
W 57.903443°		 ← 136.64 m →
18 673 m²		 S 63.424717°
W 57.900696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339160919189453 y=0.729694366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339160919189453 × 217)
    floor (0.339160919189453 × 131072)
    floor (44454.5)     		tx = 44454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729694366455078 × 217)
    floor (0.729694366455078 × 131072)
    floor (95642.5)     		ty = 95642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44454 / 95642 ti = "17/44454/95642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44454/95642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44454 ÷ 217
    44454 ÷ 131072     		x = 0.339157104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95642 ÷ 217
    95642 ÷ 131072     		y = 0.729690551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339157104492188 × 2 - 1) × π
    -0.321685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01060572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729690551757812 × 2 - 1) × π
    -0.459381103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44318829996141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01060572} λ = -1.01060572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44318829996141))-π/2
    2×atan(0.236173564855214)-π/2
    2×0.231923815917366-π/2
    0.463847631834732-1.57079632675     		φ = -1.10694869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01060572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.903443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10694869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.423488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44454 KachelY 95642 -1.01060572 -1.10694869 -57.903443 -63.423488
    Oben rechts KachelX + 1 44455 KachelY 95642 -1.01055778 -1.10694869 -57.900696 -63.423488
    Unten links KachelX 44454 KachelY + 1 95643 -1.01060572 -1.10697014 -57.903443 -63.424717
    Unten rechts KachelX + 1 44455 KachelY + 1 95643 -1.01055778 -1.10697014 -57.900696 -63.424717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10694869--1.10697014) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10694869--1.10697014) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01060572--1.01055778) × cos(-1.10694869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447392496849997 × 6371000     		do = 136.645184420768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01060572--1.01055778) × cos(-1.10697014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447373313203025 × 6371000     		du = 136.639325241196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10694869)-sin(-1.10697014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447392496849997-0.447373313203025)×R²
    abs(-1.01055778--1.01060572)×1.91836469718987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91836469718987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91836469718987e-05×40589641000000     		ar = 18673.2504293478m²