Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44453 / 95597
↖ ↑ ↗
← S 63.368139°
W 57.906189°		 ← 136.88 m → S 63.368139°
W 57.903443°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
S 63.369370°
W 57.906189°		 ← 136.87 m →
18 732 m²		 S 63.369370°
W 57.903443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339153289794922 y=0.729351043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339153289794922 × 217)
    floor (0.339153289794922 × 131072)
    floor (44453.5)     		tx = 44453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729351043701172 × 217)
    floor (0.729351043701172 × 131072)
    floor (95597.5)     		ty = 95597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44453 / 95597 ti = "17/44453/95597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44453/95597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44453 ÷ 217
    44453 ÷ 131072     		x = 0.339149475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95597 ÷ 217
    95597 ÷ 131072     		y = 0.729347229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339149475097656 × 2 - 1) × π
    -0.321701049804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.01065365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729347229003906 × 2 - 1) × π
    -0.458694458007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.44103113947851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01065365} λ = -1.01065365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44103113947851))-π/2
    2×atan(0.236683579029865)-π/2
    2×0.232406830317961-π/2
    0.464813660635922-1.57079632675     		φ = -1.10598267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01065365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.906189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10598267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.368139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44453 KachelY 95597 -1.01065365 -1.10598267 -57.906189 -63.368139
    Oben rechts KachelX + 1 44454 KachelY 95597 -1.01060572 -1.10598267 -57.903443 -63.368139
    Unten links KachelX 44453 KachelY + 1 95598 -1.01065365 -1.10600415 -57.906189 -63.369370
    Unten rechts KachelX + 1 44454 KachelY + 1 95598 -1.01060572 -1.10600415 -57.903443 -63.369370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10598267--1.10600415) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10598267--1.10600415) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01065365--1.01060572) × cos(-1.10598267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448256236085803 × 6371000     		do = 136.880434211404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01065365--1.01060572) × cos(-1.10600415) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448237034900618 × 6371000     		du = 136.874570898517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10598267)-sin(-1.10600415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448256236085803-0.448237034900618)×R²
    abs(-1.01060572--1.01065365)×1.92011851854468e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92011851854468e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92011851854468e-05×40589641000000     		ar = 18731.5602980782m²