Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44444 / 95604
↖ ↑ ↗
← S 63.376756°
W 57.930908°		 ← 136.87 m → S 63.376756°
W 57.928162°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
S 63.377987°
W 57.930908°		 ← 136.86 m →
18 730 m²		 S 63.377987°
W 57.928162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339084625244141 y=0.729404449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339084625244141 × 217)
    floor (0.339084625244141 × 131072)
    floor (44444.5)     		tx = 44444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729404449462891 × 217)
    floor (0.729404449462891 × 131072)
    floor (95604.5)     		ty = 95604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44444 / 95604 ti = "17/44444/95604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44444/95604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44444 ÷ 217
    44444 ÷ 131072     		x = 0.339080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95604 ÷ 217
    95604 ÷ 131072     		y = 0.729400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.32183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01108509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.45880126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44136669777585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01108509} λ = -1.01108509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44136669777585))-π/2
    2×atan(0.236604171214798)-π/2
    2×0.232331633546465-π/2
    0.464663267092931-1.57079632675     		φ = -1.10613306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01108509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10613306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.376756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44444 KachelY 95604 -1.01108509 -1.10613306 -57.930908 -63.376756
    Oben rechts KachelX + 1 44445 KachelY 95604 -1.01103715 -1.10613306 -57.928162 -63.376756
    Unten links KachelX 44444 KachelY + 1 95605 -1.01108509 -1.10615454 -57.930908 -63.377987
    Unten rechts KachelX + 1 44445 KachelY + 1 95605 -1.01103715 -1.10615454 -57.928162 -63.377987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10613306--1.10615454) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10613306--1.10615454) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01108509--1.01103715) × cos(-1.10613306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448121796627583 × 6371000     		do = 136.867931345019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01108509--1.01103715) × cos(-1.10615454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448102593994609 × 6371000     		du = 136.862066366633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10613306)-sin(-1.10615454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448121796627583-0.448102593994609)×R²
    abs(-1.01103715--1.01108509)×1.92026329740025e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92026329740025e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92026329740025e-05×40589641000000     		ar = 18729.8491783196m²