Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44443 / 95603
↖ ↑ ↗
← S 63.375525°
W 57.933655°		 ← 136.85 m → S 63.375525°
W 57.930908°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
S 63.376756°
W 57.933655°		 ← 136.84 m →
18 727 m²		 S 63.376756°
W 57.930908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339076995849609 y=0.729396820068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339076995849609 × 217)
    floor (0.339076995849609 × 131072)
    floor (44443.5)     		tx = 44443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729396820068359 × 217)
    floor (0.729396820068359 × 131072)
    floor (95603.5)     		ty = 95603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44443 / 95603 ti = "17/44443/95603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44443/95603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44443 ÷ 217
    44443 ÷ 131072     		x = 0.339073181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95603 ÷ 217
    95603 ÷ 131072     		y = 0.729393005371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339073181152344 × 2 - 1) × π
    -0.321853637695312 × 3.1415926535     		Λ = -1.01113302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729393005371094 × 2 - 1) × π
    -0.458786010742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.44131876087623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01113302} λ = -1.01113302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44131876087623))-π/2
    2×atan(0.23661551355706)-π/2
    2×0.23234237456141-π/2
    0.464684749122819-1.57079632675     		φ = -1.10611158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01113302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.933655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10611158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.375525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44443 KachelY 95603 -1.01113302 -1.10611158 -57.933655 -63.375525
    Oben rechts KachelX + 1 44444 KachelY 95603 -1.01108509 -1.10611158 -57.930908 -63.375525
    Unten links KachelX 44443 KachelY + 1 95604 -1.01113302 -1.10613306 -57.933655 -63.376756
    Unten rechts KachelX + 1 44444 KachelY + 1 95604 -1.01108509 -1.10613306 -57.930908 -63.376756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10611158--1.10613306) × R
    2.14799999997961e-05 × 6371000     		dl = 136.849079998701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10611158--1.10613306) × R
    2.14799999997961e-05 × 6371000     		dr = 136.849079998701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01113302--1.01108509) × cos(-1.10611158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448140999053797 × 6371000     		do = 136.845245197379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01113302--1.01108509) × cos(-1.10613306) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448121796627583 × 6371000     		du = 136.83938150553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10611158)-sin(-1.10613306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448140999053797-0.448121796627583)×R²
    abs(-1.01108509--1.01113302)×1.92024262147261e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92024262147261e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92024262147261e-05×40589641000000     		ar = 18726.7446878088m²