Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44442 / 95622
↖ ↑ ↗
← S 63.398902°
W 57.936401°		 ← 136.76 m → S 63.398902°
W 57.933655°		 →
↑
136.72 m
↓
↑
136.72 m
↓
S 63.400131°
W 57.936401°		 ← 136.76 m →
18 698 m²		 S 63.400131°
W 57.933655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339069366455078 y=0.729541778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339069366455078 × 217)
    floor (0.339069366455078 × 131072)
    floor (44442.5)     		tx = 44442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729541778564453 × 217)
    floor (0.729541778564453 × 131072)
    floor (95622.5)     		ty = 95622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44442 / 95622 ti = "17/44442/95622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44442/95622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44442 ÷ 217
    44442 ÷ 131072     		x = 0.339065551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95622 ÷ 217
    95622 ÷ 131072     		y = 0.729537963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339065551757812 × 2 - 1) × π
    -0.321868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01118096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729537963867188 × 2 - 1) × π
    -0.459075927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44222956196901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01118096} λ = -1.01118096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44222956196901))-π/2
    2×atan(0.236400102002174)-π/2
    2×0.232138373972488-π/2
    0.464276747944977-1.57079632675     		φ = -1.10651958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01118096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.936401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10651958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.398902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44442 KachelY 95622 -1.01118096 -1.10651958 -57.936401 -63.398902
    Oben rechts KachelX + 1 44443 KachelY 95622 -1.01113302 -1.10651958 -57.933655 -63.398902
    Unten links KachelX 44442 KachelY + 1 95623 -1.01118096 -1.10654104 -57.936401 -63.400131
    Unten rechts KachelX + 1 44443 KachelY + 1 95623 -1.01113302 -1.10654104 -57.933655 -63.400131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10651958--1.10654104) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dl = 136.721659999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10651958--1.10654104) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dr = 136.721659999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01118096--1.01113302) × cos(-1.10651958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447776224905977 × 6371000     		do = 136.762384846225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01118096--1.01113302) × cos(-1.10654104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447757036437114 × 6371000     		du = 136.756524193923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10651958)-sin(-1.10654104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447776224905977-0.447757036437114)×R²
    abs(-1.01113302--1.01118096)×1.91884688629518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91884688629518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91884688629518e-05×40589641000000     		ar = 18697.9796432637m²