Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44440 / 95610
↖ ↑ ↗
← S 63.384140°
W 57.941894°		 ← 136.80 m → S 63.384140°
W 57.939148°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
S 63.385370°
W 57.941894°		 ← 136.80 m →
18 721 m²		 S 63.385370°
W 57.939148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339054107666016 y=0.729450225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339054107666016 × 217)
    floor (0.339054107666016 × 131072)
    floor (44440.5)     		tx = 44440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729450225830078 × 217)
    floor (0.729450225830078 × 131072)
    floor (95610.5)     		ty = 95610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44440 / 95610 ti = "17/44440/95610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44440/95610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44440 ÷ 217
    44440 ÷ 131072     		x = 0.33905029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95610 ÷ 217
    95610 ÷ 131072     		y = 0.729446411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.3218994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01127683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729446411132812 × 2 - 1) × π
    -0.458892822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44165431917357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01127683} λ = -1.01127683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44165431917357))-π/2
    2×atan(0.236536128578095)-π/2
    2×0.232267197122341-π/2
    0.464534394244682-1.57079632675     		φ = -1.10626193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01127683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10626193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.384140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44440 KachelY 95610 -1.01127683 -1.10626193 -57.941894 -63.384140
    Oben rechts KachelX + 1 44441 KachelY 95610 -1.01122890 -1.10626193 -57.939148 -63.384140
    Unten links KachelX 44440 KachelY + 1 95611 -1.01127683 -1.10628341 -57.941894 -63.385370
    Unten rechts KachelX + 1 44441 KachelY + 1 95611 -1.01122890 -1.10628341 -57.939148 -63.385370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10626193--1.10628341) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10626193--1.10628341) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01127683--1.01122890) × cos(-1.10626193) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.448006586668965 × 6371000     		do = 136.804200758056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01127683--1.01122890) × cos(-1.10628341) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.447987382795719 × 6371000     		du = 136.798336624338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10626193)-sin(-1.10628341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448006586668965-0.447987382795719)×R²
    abs(-1.01122890--1.01127683)×1.92038732462763e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.92038732462763e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.92038732462763e-05×40589641000000     		ar = 18721.1277637592m²