Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44440 / 95595
↖ ↑ ↗
← S 63.365677°
W 57.941894°		 ← 136.89 m → S 63.365677°
W 57.939148°		 →
↑
136.91 m
↓
↑
136.91 m
↓
S 63.366908°
W 57.941894°		 ← 136.89 m →
18 742 m²		 S 63.366908°
W 57.939148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339054107666016 y=0.729335784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339054107666016 × 217)
    floor (0.339054107666016 × 131072)
    floor (44440.5)     		tx = 44440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729335784912109 × 217)
    floor (0.729335784912109 × 131072)
    floor (95595.5)     		ty = 95595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44440 / 95595 ti = "17/44440/95595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44440/95595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44440 ÷ 217
    44440 ÷ 131072     		x = 0.33905029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95595 ÷ 217
    95595 ÷ 131072     		y = 0.729331970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.3218994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01127683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729331970214844 × 2 - 1) × π
    -0.458663940429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.44093526567927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01127683} λ = -1.01127683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44093526567927))-π/2
    2×atan(0.236706271871612)-π/2
    2×0.232428319253122-π/2
    0.464856638506245-1.57079632675     		φ = -1.10593969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01127683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10593969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.365677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44440 KachelY 95595 -1.01127683 -1.10593969 -57.941894 -63.365677
    Oben rechts KachelX + 1 44441 KachelY 95595 -1.01122890 -1.10593969 -57.939148 -63.365677
    Unten links KachelX 44440 KachelY + 1 95596 -1.01127683 -1.10596118 -57.941894 -63.366908
    Unten rechts KachelX + 1 44441 KachelY + 1 95596 -1.01122890 -1.10596118 -57.939148 -63.366908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10593969--1.10596118) × R
    2.14899999999574e-05 × 6371000     		dl = 136.912789999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10593969--1.10596118) × R
    2.14899999999574e-05 × 6371000     		dr = 136.912789999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01127683--1.01122890) × cos(-1.10593969) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.448294655713419 × 6371000     		do = 136.89216610625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01127683--1.01122890) × cos(-1.10596118) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.448275446003122 × 6371000     		du = 136.886300190118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10593969)-sin(-1.10596118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448294655713419-0.448275446003122)×R²
    abs(-1.01122890--1.01127683)×1.92097102963973e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.92097102963973e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.92097102963973e-05×40589641000000     		ar = 18741.8868318646m²