Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44437 / 95591
↖ ↑ ↗
← S 63.360751°
W 57.950135°		 ← 136.94 m → S 63.360751°
W 57.947388°		 →
↑
136.91 m
↓
↑
136.91 m
↓
S 63.361982°
W 57.950135°		 ← 136.94 m →
18 749 m²		 S 63.361982°
W 57.947388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339031219482422 y=0.729305267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339031219482422 × 217)
    floor (0.339031219482422 × 131072)
    floor (44437.5)     		tx = 44437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729305267333984 × 217)
    floor (0.729305267333984 × 131072)
    floor (95591.5)     		ty = 95591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44437 / 95591 ti = "17/44437/95591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44437/95591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44437 ÷ 217
    44437 ÷ 131072     		x = 0.339027404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95591 ÷ 217
    95591 ÷ 131072     		y = 0.729301452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339027404785156 × 2 - 1) × π
    -0.321945190429688 × 3.1415926535     		Λ = -1.01142065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729301452636719 × 2 - 1) × π
    -0.458602905273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.44074351808079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01142065} λ = -1.01142065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44074351808079))-π/2
    2×atan(0.236751664082573)-π/2
    2×0.23247130264862-π/2
    0.464942605297241-1.57079632675     		φ = -1.10585372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01142065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.950135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10585372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.360751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44437 KachelY 95591 -1.01142065 -1.10585372 -57.950135 -63.360751
    Oben rechts KachelX + 1 44438 KachelY 95591 -1.01137271 -1.10585372 -57.947388 -63.360751
    Unten links KachelX 44437 KachelY + 1 95592 -1.01142065 -1.10587521 -57.950135 -63.361982
    Unten rechts KachelX + 1 44438 KachelY + 1 95592 -1.01137271 -1.10587521 -57.947388 -63.361982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10585372--1.10587521) × R
    2.14899999999574e-05 × 6371000     		dl = 136.912789999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10585372--1.10587521) × R
    2.14899999999574e-05 × 6371000     		dr = 136.912789999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01142065--1.01137271) × cos(-1.10585372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448371501422674 × 6371000     		do = 136.944197616841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01142065--1.01137271) × cos(-1.10587521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448352292540653 × 6371000     		du = 136.938330729836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10585372)-sin(-1.10587521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448371501422674-0.448352292540653)×R²
    abs(-1.01137271--1.01142065)×1.92088820209491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92088820209491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92088820209491e-05×40589641000000     		ar = 18749.0105447409m²