Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4443 / 5990
↖ ↑ ↗
← S 63.665760°
E 15.249024°		 ← 2 167.68 m → S 63.665760°
E 15.292969°		 →
↑
2 166.90 m
↓
↑
2 166.90 m
↓
S 63.685248°
E 15.249024°		 ← 2 166.19 m →
4 695 546 m²		 S 63.685248°
E 15.292969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54241943359375 y=0.73126220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54241943359375 × 213)
    floor (0.54241943359375 × 8192)
    floor (4443.5)     		tx = 4443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73126220703125 × 213)
    floor (0.73126220703125 × 8192)
    floor (5990.5)     		ty = 5990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4443 / 5990 ti = "13/4443/5990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4443/5990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4443 ÷ 213
    4443 ÷ 8192     		x = 0.5423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5990 ÷ 213
    5990 ÷ 8192     		y = 0.731201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5423583984375 × 2 - 1) × π
    0.084716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26614567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731201171875 × 2 - 1) × π
    -0.46240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45267980608618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26614567} λ = 0.26614567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45267980608618))-π/2
    2×atan(0.233942526723179)-π/2
    2×0.229809594066645-π/2
    0.459619188133291-1.57079632675     		φ = -1.11117714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26614567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.249024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11117714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.665760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4443 KachelY 5990 0.26614567 -1.11117714 15.249024 -63.665760
    Oben rechts KachelX + 1 4444 KachelY 5990 0.26691266 -1.11117714 15.292969 -63.665760
    Unten links KachelX 4443 KachelY + 1 5991 0.26614567 -1.11151726 15.249024 -63.685248
    Unten rechts KachelX + 1 4444 KachelY + 1 5991 0.26691266 -1.11151726 15.292969 -63.685248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11117714--1.11151726) × R
    0.000340120000000166 × 6371000     		dl = 2166.90452000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11117714--1.11151726) × R
    0.000340120000000166 × 6371000     		dr = 2166.90452000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26614567-0.26691266) × cos(-1.11117714) × R
    0.000766990000000023 × 0.443606846159856 × 6371000     		do = 2167.68187715826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26614567-0.26691266) × cos(-1.11151726) × R
    0.000766990000000023 × 0.443301997652667 × 6371000     		du = 2166.19223697342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11117714)-sin(-1.11151726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443606846159856-0.443301997652667)×R²
    abs(0.26691266-0.26614567)×0.00030484850718937×R²
    0.000766990000000023×0.00030484850718937×6371000²
    0.000766990000000023×0.00030484850718937×40589641000000     		ar = 4695545.74878057m²