Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4443 / 3914
↖ ↑ ↗
← N  7.972198°
E 15.249024°		 ← 4 839.27 m → N  7.972198°
E 15.292969°		 →
↑
4 839.54 m
↓
↑
4 839.54 m
↓
N  7.928675°
E 15.249024°		 ← 4 839.78 m →
23 421 068 m²		 N  7.928675°
E 15.292969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54241943359375 y=0.47784423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54241943359375 × 213)
    floor (0.54241943359375 × 8192)
    floor (4443.5)     		tx = 4443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47784423828125 × 213)
    floor (0.47784423828125 × 8192)
    floor (3914.5)     		ty = 3914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4443 / 3914 ti = "13/4443/3914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4443/3914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4443 ÷ 213
    4443 ÷ 8192     		x = 0.5423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3914 ÷ 213
    3914 ÷ 8192     		y = 0.477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5423583984375 × 2 - 1) × π
    0.084716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26614567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477783203125 × 2 - 1) × π
    0.04443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.139592251693604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26614567} λ = 0.26614567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139592251693604))-π/2
    2×atan(1.14980487227236)-π/2
    2×0.854968712763481-π/2
    1.70993742552696-1.57079632675     		φ = 0.13914110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26614567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.249024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13914110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.972198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4443 KachelY 3914 0.26614567 0.13914110 15.249024 7.972198
    Oben rechts KachelX + 1 4444 KachelY 3914 0.26691266 0.13914110 15.292969 7.972198
    Unten links KachelX 4443 KachelY + 1 3915 0.26614567 0.13838148 15.249024 7.928675
    Unten rechts KachelX + 1 4444 KachelY + 1 3915 0.26691266 0.13838148 15.292969 7.928675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13914110-0.13838148) × R
    0.000759619999999989 × 6371000     		dl = 4839.53901999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13914110-0.13838148) × R
    0.000759619999999989 × 6371000     		dr = 4839.53901999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26614567-0.26691266) × cos(0.13914110) × R
    0.000766990000000023 × 0.990335484533361 × 6371000     		do = 4839.26770002131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26614567-0.26691266) × cos(0.13838148) × R
    0.000766990000000023 × 0.990440552447854 × 6371000     		du = 4839.78111368047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13914110)-sin(0.13838148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990335484533361-0.990440552447854)×R²
    abs(0.26691266-0.26614567)×0.000105067914492385×R²
    0.000766990000000023×0.000105067914492385×6371000²
    0.000766990000000023×0.000105067914492385×40589641000000     		ar = 23421068.3314045m²