Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4441 / 4758
↖ ↑ ↗
← S 27.916766°
E 15.161133°		 ← 4 317.85 m → S 27.916766°
E 15.205078°		 →
↑
4 317.12 m
↓
↑
4 317.12 m
↓
S 27.955591°
E 15.161133°		 ← 4 316.29 m →
18 637 297 m²		 S 27.955591°
E 15.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54217529296875 y=0.58087158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54217529296875 × 213)
    floor (0.54217529296875 × 8192)
    floor (4441.5)     		tx = 4441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58087158203125 × 213)
    floor (0.58087158203125 × 8192)
    floor (4758.5)     		ty = 4758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4441 / 4758 ti = "13/4441/4758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4441/4758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4441 ÷ 213
    4441 ÷ 8192     		x = 0.5421142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4758 ÷ 213
    4758 ÷ 8192     		y = 0.580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5421142578125 × 2 - 1) × π
    0.084228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26461169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.16162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.507747640775635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26461169} λ = 0.26461169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507747640775635))-π/2
    2×atan(0.60184963490632)-π/2
    2×0.541778416203503-π/2
    1.08355683240701-1.57079632675     		φ = -0.48723949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26461169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.161133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48723949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.916766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4441 KachelY 4758 0.26461169 -0.48723949 15.161133 -27.916766
    Oben rechts KachelX + 1 4442 KachelY 4758 0.26537868 -0.48723949 15.205078 -27.916766
    Unten links KachelX 4441 KachelY + 1 4759 0.26461169 -0.48791711 15.161133 -27.955591
    Unten rechts KachelX + 1 4442 KachelY + 1 4759 0.26537868 -0.48791711 15.205078 -27.955591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48723949--0.48791711) × R
    0.00067761999999999 × 6371000     		dl = 4317.11701999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48723949--0.48791711) × R
    0.00067761999999999 × 6371000     		dr = 4317.11701999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26461169-0.26537868) × cos(-0.48723949) × R
    0.000766989999999967 × 0.883628662561301 × 6371000     		do = 4317.84553045729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26461169-0.26537868) × cos(-0.48791711) × R
    0.000766989999999967 × 0.883311205888223 × 6371000     		du = 4316.29428055443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48723949)-sin(-0.48791711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883628662561301-0.883311205888223)×R²
    abs(0.26537868-0.26461169)×0.000317456673078365×R²
    0.000766989999999967×0.000317456673078365×6371000²
    0.000766989999999967×0.000317456673078365×40589641000000     		ar = 18637296.6787278m²