Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4440 / 6008
↖ ↑ ↗
← S 64.014496°
E 15.117188°		 ← 2 140.99 m → S 64.014496°
E 15.161133°		 →
↑
2 140.21 m
↓
↑
2 140.21 m
↓
S 64.033744°
E 15.117188°		 ← 2 139.51 m →
4 580 581 m²		 S 64.033744°
E 15.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54205322265625 y=0.73345947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54205322265625 × 213)
    floor (0.54205322265625 × 8192)
    floor (4440.5)     		tx = 4440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73345947265625 × 213)
    floor (0.73345947265625 × 8192)
    floor (6008.5)     		ty = 6008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4440 / 6008 ti = "13/4440/6008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4440/6008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4440 ÷ 213
    4440 ÷ 8192     		x = 0.5419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6008 ÷ 213
    6008 ÷ 8192     		y = 0.7333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5419921875 × 2 - 1) × π
    0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7333984375 × 2 - 1) × π
    -0.466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46648563317676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26384470} λ = 0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46648563317676))-π/2
    2×atan(0.230734949227341)-π/2
    2×0.22676629960392-π/2
    0.45353259920784-1.57079632675     		φ = -1.11726373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11726373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.014496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4440 KachelY 6008 0.26384470 -1.11726373 15.117188 -64.014496
    Oben rechts KachelX + 1 4441 KachelY 6008 0.26461169 -1.11726373 15.161133 -64.014496
    Unten links KachelX 4440 KachelY + 1 6009 0.26384470 -1.11759966 15.117188 -64.033744
    Unten rechts KachelX + 1 4441 KachelY + 1 6009 0.26461169 -1.11759966 15.161133 -64.033744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11726373--1.11759966) × R
    0.000335930000000095 × 6371000     		dl = 2140.21003000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11726373--1.11759966) × R
    0.000335930000000095 × 6371000     		dr = 2140.21003000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26384470-0.26461169) × cos(-1.11726373) × R
    0.000766990000000023 × 0.438143730026227 × 6371000     		do = 2140.9863968288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26384470-0.26461169) × cos(-1.11759966) × R
    0.000766990000000023 × 0.437841736176989 × 6371000     		du = 2139.51070591087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11726373)-sin(-1.11759966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438143730026227-0.437841736176989)×R²
    abs(0.26461169-0.26384470)×0.00030199384923818×R²
    0.000766990000000023×0.00030199384923818×6371000²
    0.000766990000000023×0.00030199384923818×40589641000000     		ar = 4580581.45941306m²