Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4440 / 3369
↖ ↑ ↗
← N 80.573547°
W131.220703°		 ← 200.08 m → N 80.573547°
W131.209717°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
N 80.571747°
W131.220703°		 ← 200.12 m →
40 043 m²		 N 80.571747°
W131.209717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135513305664062 y=0.102828979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135513305664062 × 215)
    floor (0.135513305664062 × 32768)
    floor (4440.5)     		tx = 4440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102828979492188 × 215)
    floor (0.102828979492188 × 32768)
    floor (3369.5)     		ty = 3369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4440 / 3369 ti = "15/4440/3369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4440/3369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4440 ÷ 215
    4440 ÷ 32768     		x = 0.135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3369 ÷ 215
    3369 ÷ 32768     		y = 0.102813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.72900390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.29023332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102813720703125 × 2 - 1) × π
    0.79437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49559499422012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29023332} λ = -2.29023332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49559499422012))-π/2
    2×atan(12.1289480260532)-π/2
    2×1.48853500143238-π/2
    2.97707000286476-1.57079632675     		φ = 1.40627368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29023332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.220703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40627368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.573547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4440 KachelY 3369 -2.29023332 1.40627368 -131.220703 80.573547
    Oben rechts KachelX + 1 4441 KachelY 3369 -2.29004157 1.40627368 -131.209717 80.573547
    Unten links KachelX 4440 KachelY + 1 3370 -2.29023332 1.40624227 -131.220703 80.571747
    Unten rechts KachelX + 1 4441 KachelY + 1 3370 -2.29004157 1.40624227 -131.209717 80.571747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40627368-1.40624227) × R
    3.1410000000065e-05 × 6371000     		dl = 200.113110000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40627368-1.40624227) × R
    3.1410000000065e-05 × 6371000     		dr = 200.113110000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29023332--2.29004157) × cos(1.40627368) × R
    0.000191749999999935 × 0.163781442331099 × 6371000     		do = 200.081838373214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29023332--2.29004157) × cos(1.40624227) × R
    0.000191749999999935 × 0.163812428110057 × 6371000     		du = 200.119691816981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40627368)-sin(1.40624227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163781442331099-0.163812428110057)×R²
    abs(-2.29004157--2.29023332)×3.09857789581314e-05×R²
    0.000191749999999935×3.09857789581314e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.09857789581314e-05×40589641000000     		ar = 40042.7864193724m²