Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44398 / 95678
↖ ↑ ↗
← S 63.467691°
W 58.057251°		 ← 136.41 m → S 63.467691°
W 58.054505°		 →
↑
136.40 m
↓
↑
136.40 m
↓
S 63.468918°
W 58.057251°		 ← 136.40 m →
18 606 m²		 S 63.468918°
W 58.054505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338733673095703 y=0.729969024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338733673095703 × 217)
    floor (0.338733673095703 × 131072)
    floor (44398.5)     		tx = 44398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729969024658203 × 217)
    floor (0.729969024658203 × 131072)
    floor (95678.5)     		ty = 95678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44398 / 95678 ti = "17/44398/95678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44398/95678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44398 ÷ 217
    44398 ÷ 131072     		x = 0.338729858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95678 ÷ 217
    95678 ÷ 131072     		y = 0.729965209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338729858398438 × 2 - 1) × π
    -0.322540283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.01329018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729965209960938 × 2 - 1) × π
    -0.459930419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44491402834773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01329018} λ = -1.01329018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44491402834773))-π/2
    2×atan(0.23576634490682)-π/2
    2×0.231538074743628-π/2
    0.463076149487257-1.57079632675     		φ = -1.10772018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01329018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.057251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10772018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.467691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44398 KachelY 95678 -1.01329018 -1.10772018 -58.057251 -63.467691
    Oben rechts KachelX + 1 44399 KachelY 95678 -1.01324225 -1.10772018 -58.054505 -63.467691
    Unten links KachelX 44398 KachelY + 1 95679 -1.01329018 -1.10774159 -58.057251 -63.468918
    Unten rechts KachelX + 1 44399 KachelY + 1 95679 -1.01324225 -1.10774159 -58.054505 -63.468918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10772018--1.10774159) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dl = 136.403109999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10772018--1.10774159) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dr = 136.403109999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01329018--1.01324225) × cos(-1.10772018) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.446702391169125 × 6371000     		do = 136.405948973342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01329018--1.01324225) × cos(-1.10774159) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.446683235912052 × 6371000     		du = 136.400099685157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10772018)-sin(-1.10774159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446702391169125-0.446683235912052)×R²
    abs(-1.01324225--1.01329018)×1.91552570731335e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91552570731335e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91552570731335e-05×40589641000000     		ar = 18605.7967327143m²