Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4439 / 6023
↖ ↑ ↗
← S 64.301822°
E 15.073242°		 ← 2 118.93 m → S 64.301822°
E 15.117188°		 →
↑
2 118.23 m
↓
↑
2 118.23 m
↓
S 64.320872°
E 15.073242°		 ← 2 117.47 m →
4 486 835 m²		 S 64.320872°
E 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54193115234375 y=0.73529052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54193115234375 × 213)
    floor (0.54193115234375 × 8192)
    floor (4439.5)     		tx = 4439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73529052734375 × 213)
    floor (0.73529052734375 × 8192)
    floor (6023.5)     		ty = 6023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4439 / 6023 ti = "13/4439/6023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4439/6023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4439 ÷ 213
    4439 ÷ 8192     		x = 0.5418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6023 ÷ 213
    6023 ÷ 8192     		y = 0.7352294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5418701171875 × 2 - 1) × π
    0.083740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26307771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7352294921875 × 2 - 1) × π
    -0.470458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47799048908557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26307771} λ = 0.26307771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47799048908557))-π/2
    2×atan(0.228095588726935)-π/2
    2×0.224258907726679-π/2
    0.448517815453358-1.57079632675     		φ = -1.12227851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26307771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.073242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12227851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.301822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4439 KachelY 6023 0.26307771 -1.12227851 15.073242 -64.301822
    Oben rechts KachelX + 1 4440 KachelY 6023 0.26384470 -1.12227851 15.117188 -64.301822
    Unten links KachelX 4439 KachelY + 1 6024 0.26307771 -1.12261099 15.073242 -64.320872
    Unten rechts KachelX + 1 4440 KachelY + 1 6024 0.26384470 -1.12261099 15.117188 -64.320872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12227851--1.12261099) × R
    0.00033248000000019 × 6371000     		dl = 2118.23008000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12227851--1.12261099) × R
    0.00033248000000019 × 6371000     		dr = 2118.23008000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26307771-0.26384470) × cos(-1.12227851) × R
    0.000766989999999967 × 0.433630429247067 × 6371000     		do = 2118.93218285552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26307771-0.26384470) × cos(-1.12261099) × R
    0.000766989999999967 × 0.433330810612138 × 6371000     		du = 2117.46809840638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12227851)-sin(-1.12261099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433630429247067-0.433330810612138)×R²
    abs(0.26384470-0.26307771)×0.000299618634929499×R²
    0.000766989999999967×0.000299618634929499×6371000²
    0.000766989999999967×0.000299618634929499×40589641000000     		ar = 4486835.29468168m²