Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44384 / 95712
↖ ↑ ↗
← S 63.509376°
W 58.095703°		 ← 136.24 m → S 63.509376°
W 58.092956°		 →
↑
136.21 m
↓
↑
136.21 m
↓
S 63.510601°
W 58.095703°		 ← 136.23 m →
18 557 m²		 S 63.510601°
W 58.092956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338626861572266 y=0.730228424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338626861572266 × 217)
    floor (0.338626861572266 × 131072)
    floor (44384.5)     		tx = 44384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730228424072266 × 217)
    floor (0.730228424072266 × 131072)
    floor (95712.5)     		ty = 95712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44384 / 95712 ti = "17/44384/95712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44384/95712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44384 ÷ 217
    44384 ÷ 131072     		x = 0.338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95712 ÷ 217
    95712 ÷ 131072     		y = 0.730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.32275390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01396130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.46044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44654388293481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01396130} λ = -1.01396130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44654388293481))-π/2
    2×atan(0.235382393025956)-π/2
    2×0.231174310088869-π/2
    0.462348620177738-1.57079632675     		φ = -1.10844771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01396130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10844771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.509376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44384 KachelY 95712 -1.01396130 -1.10844771 -58.095703 -63.509376
    Oben rechts KachelX + 1 44385 KachelY 95712 -1.01391336 -1.10844771 -58.092956 -63.509376
    Unten links KachelX 44384 KachelY + 1 95713 -1.01396130 -1.10846909 -58.095703 -63.510601
    Unten rechts KachelX + 1 44385 KachelY + 1 95713 -1.01391336 -1.10846909 -58.092956 -63.510601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10844771--1.10846909) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dl = 136.211979999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10844771--1.10846909) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dr = 136.211979999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01396130--1.01391336) × cos(-1.10844771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44605136456709 × 6371000     		do = 136.235568100824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01396130--1.01391336) × cos(-1.10846909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446032229207721 × 6371000     		du = 136.229723669528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10844771)-sin(-1.10846909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44605136456709-0.446032229207721)×R²
    abs(-1.01391336--1.01396130)×1.91353593695931e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91353593695931e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91353593695931e-05×40589641000000     		ar = 18556.5184372956m²