Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44372 / 95756
↖ ↑ ↗
← S 63.563230°
W 58.128662°		 ← 135.95 m → S 63.563230°
W 58.125916°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
S 63.564452°
W 58.128662°		 ← 135.94 m →
18 483 m²		 S 63.564452°
W 58.125916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338535308837891 y=0.730564117431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338535308837891 × 217)
    floor (0.338535308837891 × 131072)
    floor (44372.5)     		tx = 44372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730564117431641 × 217)
    floor (0.730564117431641 × 131072)
    floor (95756.5)     		ty = 95756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44372 / 95756 ti = "17/44372/95756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44372/95756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44372 ÷ 217
    44372 ÷ 131072     		x = 0.338531494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95756 ÷ 217
    95756 ÷ 131072     		y = 0.730560302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.32293701171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01453654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730560302734375 × 2 - 1) × π
    -0.46112060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4486531065181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01453654} λ = -1.01453654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4486531065181))-π/2
    2×atan(0.234886442151004)-π/2
    2×0.230704342860959-π/2
    0.461408685721917-1.57079632675     		φ = -1.10938764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01453654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.128662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10938764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.563230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44372 KachelY 95756 -1.01453654 -1.10938764 -58.128662 -63.563230
    Oben rechts KachelX + 1 44373 KachelY 95756 -1.01448861 -1.10938764 -58.125916 -63.563230
    Unten links KachelX 44372 KachelY + 1 95757 -1.01453654 -1.10940898 -58.128662 -63.564452
    Unten rechts KachelX + 1 44373 KachelY + 1 95757 -1.01448861 -1.10940898 -58.125916 -63.564452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10938764--1.10940898) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10938764--1.10940898) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01453654--1.01448861) × cos(-1.10938764) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445209923383945 × 6371000     		do = 135.950205980749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01453654--1.01448861) × cos(-1.10940898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445190814886935 × 6371000     		du = 135.944370971312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10938764)-sin(-1.10940898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445209923383945-0.445190814886935)×R²
    abs(-1.01448861--1.01453654)×1.91084970098121e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91084970098121e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91084970098121e-05×40589641000000     		ar = 18483.0045325868m²