Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44371 / 95804
↖ ↑ ↗
← S 63.621864°
W 58.131409°		 ← 135.70 m → S 63.621864°
W 58.128662°		 →
↑
135.70 m
↓
↑
135.70 m
↓
S 63.623084°
W 58.131409°		 ← 135.69 m →
18 414 m²		 S 63.623084°
W 58.128662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338527679443359 y=0.730930328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338527679443359 × 217)
    floor (0.338527679443359 × 131072)
    floor (44371.5)     		tx = 44371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730930328369141 × 217)
    floor (0.730930328369141 × 131072)
    floor (95804.5)     		ty = 95804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44371 / 95804 ti = "17/44371/95804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44371/95804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44371 ÷ 217
    44371 ÷ 131072     		x = 0.338523864746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95804 ÷ 217
    95804 ÷ 131072     		y = 0.730926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338523864746094 × 2 - 1) × π
    -0.322952270507812 × 3.1415926535     		Λ = -1.01458448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.46185302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45095407769986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01458448} λ = -1.01458448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45095407769986))-π/2
    2×atan(0.234346596539408)-π/2
    2×0.230192662650896-π/2
    0.460385325301792-1.57079632675     		φ = -1.11041100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01458448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.131409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11041100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.621864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44371 KachelY 95804 -1.01458448 -1.11041100 -58.131409 -63.621864
    Oben rechts KachelX + 1 44372 KachelY 95804 -1.01453654 -1.11041100 -58.128662 -63.621864
    Unten links KachelX 44371 KachelY + 1 95805 -1.01458448 -1.11043230 -58.131409 -63.623084
    Unten rechts KachelX + 1 44372 KachelY + 1 95805 -1.01453654 -1.11043230 -58.128662 -63.623084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11041100--1.11043230) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dl = 135.702300000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11041100--1.11043230) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dr = 135.702300000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01458448--1.01453654) × cos(-1.11041100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444293347035923 × 6371000     		do = 135.698624295435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01458448--1.01453654) × cos(-1.11043230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444274264662045 × 6371000     		du = 135.692796047272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11041100)-sin(-1.11043230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444293347035923-0.444274264662045)×R²
    abs(-1.01453654--1.01458448)×1.90823738780987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90823738780987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90823738780987e-05×40589641000000     		ar = 18414.2199710025m²