Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44366 / 95802
↖ ↑ ↗
← S 63.619423°
W 58.145141°		 ← 135.68 m → S 63.619423°
W 58.142395°		 →
↑
135.70 m
↓
↑
135.70 m
↓
S 63.620643°
W 58.145141°		 ← 135.68 m →
18 412 m²		 S 63.620643°
W 58.142395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338489532470703 y=0.730915069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338489532470703 × 217)
    floor (0.338489532470703 × 131072)
    floor (44366.5)     		tx = 44366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730915069580078 × 217)
    floor (0.730915069580078 × 131072)
    floor (95802.5)     		ty = 95802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44366 / 95802 ti = "17/44366/95802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44366/95802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44366 ÷ 217
    44366 ÷ 131072     		x = 0.338485717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95802 ÷ 217
    95802 ÷ 131072     		y = 0.730911254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338485717773438 × 2 - 1) × π
    -0.323028564453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.01482416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730911254882812 × 2 - 1) × π
    -0.461822509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45085820390062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01482416} λ = -1.01482416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45085820390062))-π/2
    2×atan(0.234369065315023)-π/2
    2×0.230213961611091-π/2
    0.460427923222183-1.57079632675     		φ = -1.11036840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01482416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.145141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11036840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.619423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44366 KachelY 95802 -1.01482416 -1.11036840 -58.145141 -63.619423
    Oben rechts KachelX + 1 44367 KachelY 95802 -1.01477623 -1.11036840 -58.142395 -63.619423
    Unten links KachelX 44366 KachelY + 1 95803 -1.01482416 -1.11038970 -58.145141 -63.620643
    Unten rechts KachelX + 1 44367 KachelY + 1 95803 -1.01477623 -1.11038970 -58.142395 -63.620643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11036840--1.11038970) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dl = 135.702300000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11036840--1.11038970) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dr = 135.702300000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01482416--1.01477623) × cos(-1.11036840) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.444331511178956 × 6371000     		do = 135.681972246657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01482416--1.01477623) × cos(-1.11038970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.44431242920823 × 6371000     		du = 135.676145337339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11036840)-sin(-1.11038970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444331511178956-0.44431242920823)×R²
    abs(-1.01477623--1.01482416)×1.90819707265866e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90819707265866e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90819707265866e-05×40589641000000     		ar = 18411.9603404955m²