Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44360 / 95768
↖ ↑ ↗
← S 63.577900°
W 58.161621°		 ← 135.91 m → S 63.577900°
W 58.158875°		 →
↑
135.89 m
↓
↑
135.89 m
↓
S 63.579122°
W 58.161621°		 ← 135.90 m →
18 469 m²		 S 63.579122°
W 58.158875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338443756103516 y=0.730655670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338443756103516 × 217)
    floor (0.338443756103516 × 131072)
    floor (44360.5)     		tx = 44360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730655670166016 × 217)
    floor (0.730655670166016 × 131072)
    floor (95768.5)     		ty = 95768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44360 / 95768 ti = "17/44360/95768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44360/95768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44360 ÷ 217
    44360 ÷ 131072     		x = 0.33843994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95768 ÷ 217
    95768 ÷ 131072     		y = 0.73065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33843994140625 × 2 - 1) × π
    -0.3231201171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01511179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73065185546875 × 2 - 1) × π
    -0.4613037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44922834931354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01511179} λ = -1.01511179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44922834931354))-π/2
    2×atan(0.234751364272423)-π/2
    2×0.230576323935495-π/2
    0.46115264787099-1.57079632675     		φ = -1.10964368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01511179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.161621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10964368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.577900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44360 KachelY 95768 -1.01511179 -1.10964368 -58.161621 -63.577900
    Oben rechts KachelX + 1 44361 KachelY 95768 -1.01506385 -1.10964368 -58.158875 -63.577900
    Unten links KachelX 44360 KachelY + 1 95769 -1.01511179 -1.10966501 -58.161621 -63.579122
    Unten rechts KachelX + 1 44361 KachelY + 1 95769 -1.01506385 -1.10966501 -58.158875 -63.579122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10964368--1.10966501) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dl = 135.893430000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10964368--1.10966501) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dr = 135.893430000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01511179--1.01506385) × cos(-1.10964368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444980643862646 × 6371000     		do = 135.908542437336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01511179--1.01506385) × cos(-1.10966501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444961541889231 × 6371000     		du = 135.90270820297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10964368)-sin(-1.10966501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444980643862646-0.444961541889231)×R²
    abs(-1.01506385--1.01511179)×1.91019734141484e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91019734141484e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91019734141484e-05×40589641000000     		ar = 18468.6815818009m²