Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44357 / 95784
↖ ↑ ↗
← S 63.597448°
W 58.169861°		 ← 135.82 m → S 63.597448°
W 58.167114°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
S 63.598669°
W 58.169861°		 ← 135.81 m →
18 439 m²		 S 63.598669°
W 58.167114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338420867919922 y=0.730777740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338420867919922 × 217)
    floor (0.338420867919922 × 131072)
    floor (44357.5)     		tx = 44357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730777740478516 × 217)
    floor (0.730777740478516 × 131072)
    floor (95784.5)     		ty = 95784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44357 / 95784 ti = "17/44357/95784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44357/95784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44357 ÷ 217
    44357 ÷ 131072     		x = 0.338417053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95784 ÷ 217
    95784 ÷ 131072     		y = 0.73077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338417053222656 × 2 - 1) × π
    -0.323165893554688 × 3.1415926535     		Λ = -1.01525560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.4615478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44999533970746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01525560} λ = -1.01525560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44999533970746))-π/2
    2×atan(0.234571381262509)-π/2
    2×0.230405734591895-π/2
    0.460811469183789-1.57079632675     		φ = -1.10998486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01525560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.169861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10998486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.597448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44357 KachelY 95784 -1.01525560 -1.10998486 -58.169861 -63.597448
    Oben rechts KachelX + 1 44358 KachelY 95784 -1.01520766 -1.10998486 -58.167114 -63.597448
    Unten links KachelX 44357 KachelY + 1 95785 -1.01525560 -1.11000617 -58.169861 -63.598669
    Unten rechts KachelX + 1 44358 KachelY + 1 95785 -1.01520766 -1.11000617 -58.167114 -63.598669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10998486--1.11000617) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dl = 135.766009999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10998486--1.11000617) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dr = 135.766009999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01525560--1.01520766) × cos(-1.10998486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444675077568845 × 6371000     		do = 135.815214625933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01525560--1.01520766) × cos(-1.11000617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.444655990272352 × 6371000     		du = 135.809384874277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10998486)-sin(-1.11000617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444675077568845-0.444655990272352)×R²
    abs(-1.01520766--1.01525560)×1.90872964925815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90872964925815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90872964925815e-05×40589641000000     		ar = 18438.6940466676m²