Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44353 / 95809
↖ ↑ ↗
← S 63.627965°
W 58.180847°		 ← 135.64 m → S 63.627965°
W 58.178101°		 →
↑
135.64 m
↓
↑
135.64 m
↓
S 63.629185°
W 58.180847°		 ← 135.64 m →
18 398 m²		 S 63.629185°
W 58.178101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338390350341797 y=0.730968475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338390350341797 × 217)
    floor (0.338390350341797 × 131072)
    floor (44353.5)     		tx = 44353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730968475341797 × 217)
    floor (0.730968475341797 × 131072)
    floor (95809.5)     		ty = 95809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44353 / 95809 ti = "17/44353/95809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44353/95809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44353 ÷ 217
    44353 ÷ 131072     		x = 0.338386535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95809 ÷ 217
    95809 ÷ 131072     		y = 0.730964660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338386535644531 × 2 - 1) × π
    -0.323226928710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.01544734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730964660644531 × 2 - 1) × π
    -0.461929321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.45119376219796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01544734} λ = -1.01544734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45119376219796))-π/2
    2×atan(0.234290434023946)-π/2
    2×0.230139423253433-π/2
    0.460278846506865-1.57079632675     		φ = -1.11051748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01544734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.180847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11051748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.627965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44353 KachelY 95809 -1.01544734 -1.11051748 -58.180847 -63.627965
    Oben rechts KachelX + 1 44354 KachelY 95809 -1.01539941 -1.11051748 -58.178101 -63.627965
    Unten links KachelX 44353 KachelY + 1 95810 -1.01544734 -1.11053877 -58.180847 -63.629185
    Unten rechts KachelX + 1 44354 KachelY + 1 95810 -1.01539941 -1.11053877 -58.178101 -63.629185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11051748--1.11053877) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dl = 135.638590000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11051748--1.11053877) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dr = 135.638590000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01544734--1.01539941) × cos(-1.11051748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.444197951069565 × 6371000     		do = 135.641188060526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01544734--1.01539941) × cos(-1.11053877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.44417887664753 × 6371000     		du = 135.635363456292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11051748)-sin(-1.11053877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444197951069565-0.44417887664753)×R²
    abs(-1.01539941--1.01544734)×1.90744220350259e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90744220350259e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90744220350259e-05×40589641000000     		ar = 18397.7844747062m²