Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4435 / 3927
↖ ↑ ↗
← N  7.406048°
E 14.897461°		 ← 4 845.73 m → N  7.406048°
E 14.941406°		 →
↑
4 845.97 m
↓
↑
4 845.97 m
↓
N  7.362467°
E 14.897461°		 ← 4 846.21 m →
23 483 429 m²		 N  7.362467°
E 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54144287109375 y=0.47943115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54144287109375 × 213)
    floor (0.54144287109375 × 8192)
    floor (4435.5)     		tx = 4435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47943115234375 × 213)
    floor (0.47943115234375 × 8192)
    floor (3927.5)     		ty = 3927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4435 / 3927 ti = "13/4435/3927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4435/3927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4435 ÷ 213
    4435 ÷ 8192     		x = 0.5413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3927 ÷ 213
    3927 ÷ 8192     		y = 0.4793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5413818359375 × 2 - 1) × π
    0.082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26000974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4793701171875 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.129621376572632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26000974} λ = 0.26000974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.129621376572632))-π/2
    2×atan(1.13839727783741)-π/2
    2×0.850028122007007-π/2
    1.70005624401401-1.57079632675     		φ = 0.12925992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26000974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12925992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.406048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4435 KachelY 3927 0.26000974 0.12925992 14.897461 7.406048
    Oben rechts KachelX + 1 4436 KachelY 3927 0.26077673 0.12925992 14.941406 7.406048
    Unten links KachelX 4435 KachelY + 1 3928 0.26000974 0.12849929 14.897461 7.362467
    Unten rechts KachelX + 1 4436 KachelY + 1 3928 0.26077673 0.12849929 14.941406 7.362467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12925992-0.12849929) × R
    0.000760630000000012 × 6371000     		dl = 4845.97373000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12925992-0.12849929) × R
    0.000760630000000012 × 6371000     		dr = 4845.97373000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26000974-0.26077673) × cos(0.12925992) × R
    0.000766990000000023 × 0.991657561793962 × 6371000     		do = 4845.7280216841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26000974-0.26077673) × cos(0.12849929) × R
    0.000766990000000023 × 0.991755320332752 × 6371000     		du = 4846.20571812794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12925992)-sin(0.12849929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991657561793962-0.991755320332752)×R²
    abs(0.26077673-0.26000974)×9.77585387895719e-05×R²
    0.000766990000000023×9.77585387895719e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.77585387895719e-05×40589641000000     		ar = 23483429.2802252m²