Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4434 / 3366
↖ ↑ ↗
← N 80.578943°
W131.286621°		 ← 199.97 m → N 80.578943°
W131.275635°		 →
↑
199.99 m
↓
↑
199.99 m
↓
N 80.577144°
W131.286621°		 ← 200.01 m →
39 995 m²		 N 80.577144°
W131.275635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135330200195312 y=0.102737426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135330200195312 × 215)
    floor (0.135330200195312 × 32768)
    floor (4434.5)     		tx = 4434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102737426757812 × 215)
    floor (0.102737426757812 × 32768)
    floor (3366.5)     		ty = 3366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4434 / 3366 ti = "15/4434/3366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4434/3366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4434 ÷ 215
    4434 ÷ 32768     		x = 0.13531494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3366 ÷ 215
    3366 ÷ 32768     		y = 0.10272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.7293701171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29138380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10272216796875 × 2 - 1) × π
    0.7945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49617023701556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29138380} λ = -2.29138380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49617023701556))-π/2
    2×atan(12.1359271231666)-π/2
    2×1.48858209511728-π/2
    2.97716419023456-1.57079632675     		φ = 1.40636786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29138380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.286621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40636786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.578943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4434 KachelY 3366 -2.29138380 1.40636786 -131.286621 80.578943
    Oben rechts KachelX + 1 4435 KachelY 3366 -2.29119205 1.40636786 -131.275635 80.578943
    Unten links KachelX 4434 KachelY + 1 3367 -2.29138380 1.40633647 -131.286621 80.577144
    Unten rechts KachelX + 1 4435 KachelY + 1 3367 -2.29119205 1.40633647 -131.275635 80.577144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40636786-1.40633647) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dl = 199.985689999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40636786-1.40633647) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dr = 199.985689999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29138380--2.29119205) × cos(1.40636786) × R
    0.000191750000000379 × 0.163688533350442 × 6371000     		do = 199.968337116229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29138380--2.29119205) × cos(1.40633647) × R
    0.000191750000000379 × 0.163719499883667 × 6371000     		du = 200.006167048653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40636786)-sin(1.40633647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163688533350442-0.163719499883667)×R²
    abs(-2.29119205--2.29138380)×3.09665332251241e-05×R²
    0.000191750000000379×3.09665332251241e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.09665332251241e-05×40589641000000     		ar = 39994.5886021667m²