Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44321 / 95191
↖ ↑ ↗
← S 62.863916°
W 58.268738°		 ← 139.31 m → S 62.863916°
W 58.265991°		 →
↑
139.33 m
↓
↑
139.33 m
↓
S 62.865169°
W 58.268738°		 ← 139.30 m →
19 410 m²		 S 62.865169°
W 58.265991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338146209716797 y=0.726253509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338146209716797 × 217)
    floor (0.338146209716797 × 131072)
    floor (44321.5)     		tx = 44321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726253509521484 × 217)
    floor (0.726253509521484 × 131072)
    floor (95191.5)     		ty = 95191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44321 / 95191 ti = "17/44321/95191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44321/95191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44321 ÷ 217
    44321 ÷ 131072     		x = 0.338142395019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95191 ÷ 217
    95191 ÷ 131072     		y = 0.726249694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338142395019531 × 2 - 1) × π
    -0.323715209960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.01698133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726249694824219 × 2 - 1) × π
    -0.452499389648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.42156875823277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01698133} λ = -1.01698133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42156875823277))-π/2
    2×atan(0.241335123316971)-π/2
    2×0.236807006267208-π/2
    0.473614012534416-1.57079632675     		φ = -1.09718231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01698133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.268738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09718231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.863916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44321 KachelY 95191 -1.01698133 -1.09718231 -58.268738 -62.863916
    Oben rechts KachelX + 1 44322 KachelY 95191 -1.01693339 -1.09718231 -58.265991 -62.863916
    Unten links KachelX 44321 KachelY + 1 95192 -1.01698133 -1.09720418 -58.268738 -62.865169
    Unten rechts KachelX + 1 44322 KachelY + 1 95192 -1.01693339 -1.09720418 -58.265991 -62.865169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09718231--1.09720418) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dl = 139.333770000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09718231--1.09720418) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dr = 139.333770000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01698133--1.01693339) × cos(-1.09718231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456105463535027 × 6371000     		do = 139.306348718137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01698133--1.01693339) × cos(-1.09720418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456086000750221 × 6371000     		du = 139.300404282686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09718231)-sin(-1.09720418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456105463535027-0.456086000750221)×R²
    abs(-1.01693339--1.01698133)×1.94627848054685e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94627848054685e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94627848054685e-05×40589641000000     		ar = 19409.6646223572m²