Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4432 / 3926
↖ ↑ ↗
← N  7.449624°
E 14.765625°		 ← 4 845.25 m → N  7.449624°
E 14.809570°		 →
↑
4 845.46 m
↓
↑
4 845.46 m
↓
N  7.406048°
E 14.765625°		 ← 4 845.73 m →
23 478 638 m²		 N  7.406048°
E 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54107666015625 y=0.47930908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54107666015625 × 213)
    floor (0.54107666015625 × 8192)
    floor (4432.5)     		tx = 4432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47930908203125 × 213)
    floor (0.47930908203125 × 8192)
    floor (3926.5)     		ty = 3926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4432 / 3926 ti = "13/4432/3926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4432/3926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4432 ÷ 213
    4432 ÷ 8192     		x = 0.541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3926 ÷ 213
    3926 ÷ 8192     		y = 0.479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541015625 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479248046875 × 2 - 1) × π
    0.04150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.130388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25770877} λ = 0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.130388366966553))-π/2
    2×atan(1.13927075254451)-π/2
    2×0.85040839908405-π/2
    1.7008167981681-1.57079632675     		φ = 0.13002047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13002047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.449624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4432 KachelY 3926 0.25770877 0.13002047 14.765625 7.449624
    Oben rechts KachelX + 1 4433 KachelY 3926 0.25847576 0.13002047 14.809570 7.449624
    Unten links KachelX 4432 KachelY + 1 3927 0.25770877 0.12925992 14.765625 7.406048
    Unten rechts KachelX + 1 4433 KachelY + 1 3927 0.25847576 0.12925992 14.809570 7.406048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13002047-0.12925992) × R
    0.000760549999999999 × 6371000     		dl = 4845.46404999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13002047-0.12925992) × R
    0.000760549999999999 × 6371000     		dr = 4845.46404999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25770877-0.25847576) × cos(0.13002047) × R
    0.000766990000000023 × 0.991559239896146 × 6371000     		do = 4845.24757239016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25770877-0.25847576) × cos(0.12925992) × R
    0.000766990000000023 × 0.991657561793962 × 6371000     		du = 4845.7280216841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13002047)-sin(0.12925992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991559239896146-0.991657561793962)×R²
    abs(0.25847576-0.25770877)×9.83218978160005e-05×R²
    0.000766990000000023×9.83218978160005e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.83218978160005e-05×40589641000000     		ar = 23478638.0569986m²