Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4432 / 3363
↖ ↑ ↗
← N 80.584337°
W131.308594°		 ← 199.85 m → N 80.584337°
W131.297607°		 →
↑
199.86 m
↓
↑
199.86 m
↓
N 80.582539°
W131.308594°		 ← 199.89 m →
39 946 m²		 N 80.582539°
W131.297607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135269165039062 y=0.102645874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135269165039062 × 215)
    floor (0.135269165039062 × 32768)
    floor (4432.5)     		tx = 4432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102645874023438 × 215)
    floor (0.102645874023438 × 32768)
    floor (3363.5)     		ty = 3363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4432 / 3363 ti = "15/4432/3363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4432/3363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4432 ÷ 215
    4432 ÷ 32768     		x = 0.13525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3363 ÷ 215
    3363 ÷ 32768     		y = 0.102630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13525390625 × 2 - 1) × π
    -0.7294921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29176730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102630615234375 × 2 - 1) × π
    0.79473876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.496745479811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29176730} λ = -2.29176730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.496745479811))-π/2
    2×atan(12.1429102361104)-π/2
    2×1.48862916208485-π/2
    2.9772583241697-1.57079632675     		φ = 1.40646200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29176730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.308594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40646200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.584337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4432 KachelY 3363 -2.29176730 1.40646200 -131.308594 80.584337
    Oben rechts KachelX + 1 4433 KachelY 3363 -2.29157555 1.40646200 -131.297607 80.584337
    Unten links KachelX 4432 KachelY + 1 3364 -2.29176730 1.40643063 -131.308594 80.582539
    Unten rechts KachelX + 1 4433 KachelY + 1 3364 -2.29157555 1.40643063 -131.297607 80.582539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40646200-1.40643063) × R
    3.13700000000861e-05 × 6371000     		dl = 199.858270000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40646200-1.40643063) × R
    3.13700000000861e-05 × 6371000     		dr = 199.858270000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29176730--2.29157555) × cos(1.40646200) × R
    0.000191749999999935 × 0.163595662378987 × 6371000     		do = 199.854882291851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29176730--2.29157555) × cos(1.40643063) × R
    0.000191749999999935 × 0.163626609665383 × 6371000     		du = 199.892688711593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40646200)-sin(1.40643063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163595662378987-0.163626609665383)×R²
    abs(-2.29157555--2.29176730)×3.09472863955218e-05×R²
    0.000191749999999935×3.09472863955218e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.09472863955218e-05×40589641000000     		ar = 39946.4289915405m²