Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4431 / 3377
↖ ↑ ↗
← N 80.559141°
W131.319580°		 ← 200.37 m → N 80.559141°
W131.308594°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
N 80.557338°
W131.319580°		 ← 200.41 m →
40 165 m²		 N 80.557338°
W131.308594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135238647460938 y=0.103073120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135238647460938 × 215)
    floor (0.135238647460938 × 32768)
    floor (4431.5)     		tx = 4431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103073120117188 × 215)
    floor (0.103073120117188 × 32768)
    floor (3377.5)     		ty = 3377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4431 / 3377 ti = "15/4431/3377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4431/3377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4431 ÷ 215
    4431 ÷ 32768     		x = 0.135223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3377 ÷ 215
    3377 ÷ 32768     		y = 0.103057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135223388671875 × 2 - 1) × π
    -0.72955322265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.29195904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103057861328125 × 2 - 1) × π
    0.79388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49406101343228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29195904} λ = -2.29195904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49406101343228))-π/2
    2×atan(12.1103567158064)-π/2
    2×1.48840928754241-π/2
    2.97681857508483-1.57079632675     		φ = 1.40602225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29195904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.319580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40602225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.559141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4431 KachelY 3377 -2.29195904 1.40602225 -131.319580 80.559141
    Oben rechts KachelX + 1 4432 KachelY 3377 -2.29176730 1.40602225 -131.308594 80.559141
    Unten links KachelX 4431 KachelY + 1 3378 -2.29195904 1.40599079 -131.319580 80.557338
    Unten rechts KachelX + 1 4432 KachelY + 1 3378 -2.29176730 1.40599079 -131.308594 80.557338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40602225-1.40599079) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dl = 200.431659999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40602225-1.40599079) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dr = 200.431659999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29195904--2.29176730) × cos(1.40602225) × R
    0.000191739999999996 × 0.164029472004138 × 6371000     		do = 200.374390839366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29195904--2.29176730) × cos(1.40599079) × R
    0.000191739999999996 × 0.164060505811059 × 6371000     		du = 200.412300978813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40602225)-sin(1.40599079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164029472004138-0.164060505811059)×R²
    abs(-2.29176730--2.29195904)×3.10338069201832e-05×R²
    0.000191739999999996×3.10338069201832e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.10338069201832e-05×40589641000000     		ar = 40165.1709764067m²