Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44309 / 95700
↖ ↑ ↗
← S 63.494670°
W 58.301697°		 ← 136.31 m → S 63.494670°
W 58.298950°		 →
↑
136.34 m
↓
↑
136.34 m
↓
S 63.495896°
W 58.301697°		 ← 136.30 m →
18 583 m²		 S 63.495896°
W 58.298950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338054656982422 y=0.730136871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338054656982422 × 217)
    floor (0.338054656982422 × 131072)
    floor (44309.5)     		tx = 44309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730136871337891 × 217)
    floor (0.730136871337891 × 131072)
    floor (95700.5)     		ty = 95700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44309 / 95700 ti = "17/44309/95700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44309/95700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44309 ÷ 217
    44309 ÷ 131072     		x = 0.338050842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95700 ÷ 217
    95700 ÷ 131072     		y = 0.730133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338050842285156 × 2 - 1) × π
    -0.323898315429688 × 3.1415926535     		Λ = -1.01755657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730133056640625 × 2 - 1) × π
    -0.46026611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44596864013937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01755657} λ = -1.01755657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44596864013937))-π/2
    2×atan(0.235517834003706)-π/2
    2×0.231302637036771-π/2
    0.462605274073542-1.57079632675     		φ = -1.10819105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01755657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.301697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10819105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.494670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44309 KachelY 95700 -1.01755657 -1.10819105 -58.301697 -63.494670
    Oben rechts KachelX + 1 44310 KachelY 95700 -1.01750863 -1.10819105 -58.298950 -63.494670
    Unten links KachelX 44309 KachelY + 1 95701 -1.01755657 -1.10821245 -58.301697 -63.495896
    Unten rechts KachelX + 1 44310 KachelY + 1 95701 -1.01750863 -1.10821245 -58.298950 -63.495896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10819105--1.10821245) × R
    2.13999999998382e-05 × 6371000     		dl = 136.339399998969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10819105--1.10821245) × R
    2.13999999998382e-05 × 6371000     		dr = 136.339399998969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01755657--1.01750863) × cos(-1.10819105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446281062462732 × 6371000     		do = 136.305723750577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01755657--1.01750863) × cos(-1.10821245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446261911653551 × 6371000     		du = 136.299874600511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10819105)-sin(-1.10821245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446281062462732-0.446261911653551)×R²
    abs(-1.01750863--1.01755657)×1.91508091814674e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91508091814674e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91508091814674e-05×40589641000000     		ar = 18583.4418584015m²