Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4430 / 5582
↖ ↑ ↗
← N 75.634085°
W131.330566°		 ← 303.11 m → N 75.634085°
W131.319580°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
N 75.631359°
W131.330566°		 ← 303.16 m →
91 890 m²		 N 75.631359°
W131.319580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135208129882812 y=0.170364379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135208129882812 × 215)
    floor (0.135208129882812 × 32768)
    floor (4430.5)     		tx = 4430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170364379882812 × 215)
    floor (0.170364379882812 × 32768)
    floor (5582.5)     		ty = 5582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4430 / 5582 ti = "15/4430/5582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4430/5582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4430 ÷ 215
    4430 ÷ 32768     		x = 0.13519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5582 ÷ 215
    5582 ÷ 32768     		y = 0.17034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13519287109375 × 2 - 1) × π
    -0.7296142578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.29215079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17034912109375 × 2 - 1) × π
    0.6593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07125755878339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29215079} λ = -2.29215079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07125755878339))-π/2
    2×atan(7.93479531776771)-π/2
    2×1.44543006804361-π/2
    2.89086013608723-1.57079632675     		φ = 1.32006381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29215079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.330566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32006381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.634085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4430 KachelY 5582 -2.29215079 1.32006381 -131.330566 75.634085
    Oben rechts KachelX + 1 4431 KachelY 5582 -2.29195904 1.32006381 -131.319580 75.634085
    Unten links KachelX 4430 KachelY + 1 5583 -2.29215079 1.32001623 -131.330566 75.631359
    Unten rechts KachelX + 1 4431 KachelY + 1 5583 -2.29195904 1.32001623 -131.319580 75.631359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32006381-1.32001623) × R
    4.7579999999936e-05 × 6371000     		dl = 303.132179999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32006381-1.32001623) × R
    4.7579999999936e-05 × 6371000     		dr = 303.132179999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29215079--2.29195904) × cos(1.32006381) × R
    0.000191749999999935 × 0.248113637436626 × 6371000     		do = 303.10535795275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29215079--2.29195904) × cos(1.32001623) × R
    0.000191749999999935 × 0.248159729373612 × 6371000     		du = 303.16166567208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32006381)-sin(1.32001623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248113637436626-0.248159729373612)×R²
    abs(-2.29195904--2.29215079)×4.60919369859869e-05×R²
    0.000191749999999935×4.60919369859869e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.60919369859869e-05×40589641000000     		ar = 91889.5222836801m²