Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4430 / 3925
↖ ↑ ↗
← N  7.493196°
E 14.677734°		 ← 4 844.76 m → N  7.493196°
E 14.721680°		 →
↑
4 845.02 m
↓
↑
4 845.02 m
↓
N  7.449624°
E 14.677734°		 ← 4 845.25 m →
23 474 143 m²		 N  7.449624°
E 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54083251953125 y=0.47918701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54083251953125 × 213)
    floor (0.54083251953125 × 8192)
    floor (4430.5)     		tx = 4430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47918701171875 × 213)
    floor (0.47918701171875 × 8192)
    floor (3925.5)     		ty = 3925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4430 / 3925 ti = "13/4430/3925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4430/3925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4430 ÷ 213
    4430 ÷ 8192     		x = 0.540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3925 ÷ 213
    3925 ÷ 8192     		y = 0.4791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540771484375 × 2 - 1) × π
    0.08154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25617479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4791259765625 × 2 - 1) × π
    0.041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.131155357360474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25617479} λ = 0.25617479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131155357360474))-π/2
    2×atan(1.14014489745531)-π/2
    2×0.850788638346815-π/2
    1.70157727669363-1.57079632675     		φ = 0.13078095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25617479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.677734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13078095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.493196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4430 KachelY 3925 0.25617479 0.13078095 14.677734 7.493196
    Oben rechts KachelX + 1 4431 KachelY 3925 0.25694178 0.13078095 14.721680 7.493196
    Unten links KachelX 4430 KachelY + 1 3926 0.25617479 0.13002047 14.677734 7.449624
    Unten rechts KachelX + 1 4431 KachelY + 1 3926 0.25694178 0.13002047 14.721680 7.449624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13078095-0.13002047) × R
    0.000760480000000008 × 6371000     		dl = 4845.01808000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13078095-0.13002047) × R
    0.000760480000000008 × 6371000     		dr = 4845.01808000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25617479-0.25694178) × cos(0.13078095) × R
    0.000766990000000023 × 0.991460353573092 × 6371000     		do = 4844.76436503609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25617479-0.25694178) × cos(0.13002047) × R
    0.000766990000000023 × 0.991559239896146 × 6371000     		du = 4845.24757239016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13078095)-sin(0.13002047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991460353573092-0.991559239896146)×R²
    abs(0.25694178-0.25617479)×9.88863230539927e-05×R²
    0.000766990000000023×9.88863230539927e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.88863230539927e-05×40589641000000     		ar = 23474142.6474399m²