Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 443 / 569
↖ ↑ ↗
← N 78.188586°
W141.064453°		 ← 2 000.44 m → N 78.188586°
W140.976562°		 →
↑
2 001.96 m
↓
↑
2 001.96 m
↓
N 78.170582°
W141.064453°		 ← 2 003.45 m →
4 007 814 m²		 N 78.170582°
W140.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1082763671875 y=0.1390380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1082763671875 × 212)
    floor (0.1082763671875 × 4096)
    floor (443.5)     		tx = 443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1390380859375 × 212)
    floor (0.1390380859375 × 4096)
    floor (569.5)     		ty = 569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 443 / 569 ti = "12/443/569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/443/569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 443 ÷ 212
    443 ÷ 4096     		x = 0.108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 569 ÷ 212
    569 ÷ 4096     		y = 0.138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.78369140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46203916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138916015625 × 2 - 1) × π
    0.72216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26875758521802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46203916} λ = -2.46203916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26875758521802))-π/2
    2×atan(9.66738245086271)-π/2
    2×1.46772229660848-π/2
    2.93544459321695-1.57079632675     		φ = 1.36464827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46203916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36464827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.188586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 443 KachelY 569 -2.46203916 1.36464827 -141.064453 78.188586
    Oben rechts KachelX + 1 444 KachelY 569 -2.46050518 1.36464827 -140.976562 78.188586
    Unten links KachelX 443 KachelY + 1 570 -2.46203916 1.36433404 -141.064453 78.170582
    Unten rechts KachelX + 1 444 KachelY + 1 570 -2.46050518 1.36433404 -140.976562 78.170582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36464827-1.36433404) × R
    0.000314230000000082 × 6371000     		dl = 2001.95933000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36464827-1.36433404) × R
    0.000314230000000082 × 6371000     		dr = 2001.95933000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46203916--2.46050518) × cos(1.36464827) × R
    0.0015339799999996 × 0.204691043119513 × 6371000     		do = 2000.44281745268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46203916--2.46050518) × cos(1.36433404) × R
    0.0015339799999996 × 0.204998609701595 × 6371000     		du = 2003.44866153182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36464827)-sin(1.36433404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204691043119513-0.204998609701595)×R²
    abs(-2.46050518--2.46203916)×0.000307566582081947×R²
    0.0015339799999996×0.000307566582081947×6371000²
    0.0015339799999996×0.000307566582081947×40589641000000     		ar = 4007813.98431503m²