Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4429 / 3364
↖ ↑ ↗
← N 80.582539°
W131.341553°		 ← 199.89 m → N 80.582539°
W131.330566°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
N 80.580741°
W131.341553°		 ← 199.93 m →
39 967 m²		 N 80.580741°
W131.330566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135177612304688 y=0.102676391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135177612304688 × 215)
    floor (0.135177612304688 × 32768)
    floor (4429.5)     		tx = 4429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102676391601562 × 215)
    floor (0.102676391601562 × 32768)
    floor (3364.5)     		ty = 3364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4429 / 3364 ti = "15/4429/3364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4429/3364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4429 ÷ 215
    4429 ÷ 32768     		x = 0.135162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3364 ÷ 215
    3364 ÷ 32768     		y = 0.1026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.72967529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29234254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1026611328125 × 2 - 1) × π
    0.794677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49655373221252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29234254} λ = -2.29234254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49655373221252))-π/2
    2×atan(12.1405820854498)-π/2
    2×1.48861347606334-π/2
    2.97722695212668-1.57079632675     		φ = 1.40643063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29234254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.341553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40643063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.582539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4429 KachelY 3364 -2.29234254 1.40643063 -131.341553 80.582539
    Oben rechts KachelX + 1 4430 KachelY 3364 -2.29215079 1.40643063 -131.330566 80.582539
    Unten links KachelX 4429 KachelY + 1 3365 -2.29234254 1.40639925 -131.341553 80.580741
    Unten rechts KachelX + 1 4430 KachelY + 1 3365 -2.29215079 1.40639925 -131.330566 80.580741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40643063-1.40639925) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40643063-1.40639925) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29234254--2.29215079) × cos(1.40643063) × R
    0.000191749999999935 × 0.163626609665383 × 6371000     		do = 199.892688711593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29234254--2.29215079) × cos(1.40639925) × R
    0.000191749999999935 × 0.163657566655929 × 6371000     		du = 199.930506986306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40643063)-sin(1.40639925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163626609665383-0.163657566655929)×R²
    abs(-2.29215079--2.29234254)×3.09569905463658e-05×R²
    0.000191749999999935×3.09569905463658e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.09569905463658e-05×40589641000000     		ar = 39966.7224702163m²