Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4428 / 5994
↖ ↑ ↗
← S 63.743631°
E 14.589844°		 ← 2 161.73 m → S 63.743631°
E 14.633789°		 →
↑
2 160.98 m
↓
↑
2 160.98 m
↓
S 63.763065°
E 14.589844°		 ← 2 160.24 m →
4 669 843 m²		 S 63.763065°
E 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54058837890625 y=0.73175048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54058837890625 × 213)
    floor (0.54058837890625 × 8192)
    floor (4428.5)     		tx = 4428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73175048828125 × 213)
    floor (0.73175048828125 × 8192)
    floor (5994.5)     		ty = 5994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4428 / 5994 ti = "13/4428/5994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4428/5994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4428 ÷ 213
    4428 ÷ 8192     		x = 0.54052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5994 ÷ 213
    5994 ÷ 8192     		y = 0.731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54052734375 × 2 - 1) × π
    0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.46337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45574776766187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25464081} λ = 0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45574776766187))-π/2
    2×atan(0.233225899894159)-π/2
    2×0.229130044558728-π/2
    0.458260089117456-1.57079632675     		φ = -1.11253624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11253624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.743631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4428 KachelY 5994 0.25464081 -1.11253624 14.589844 -63.743631
    Oben rechts KachelX + 1 4429 KachelY 5994 0.25540780 -1.11253624 14.633789 -63.743631
    Unten links KachelX 4428 KachelY + 1 5995 0.25464081 -1.11287543 14.589844 -63.763065
    Unten rechts KachelX + 1 4429 KachelY + 1 5995 0.25540780 -1.11287543 14.633789 -63.763065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11253624--1.11287543) × R
    0.000339190000000045 × 6371000     		dl = 2160.97949000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11253624--1.11287543) × R
    0.000339190000000045 × 6371000     		dr = 2160.97949000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25464081-0.25540780) × cos(-1.11253624) × R
    0.000766990000000023 × 0.442388382197799 × 6371000     		do = 2161.72786118356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25464081-0.25540780) × cos(-1.11287543) × R
    0.000766990000000023 × 0.442084163167885 × 6371000     		du = 2160.2412969352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11253624)-sin(-1.11287543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442388382197799-0.442084163167885)×R²
    abs(0.25540780-0.25464081)×0.000304219029913733×R²
    0.000766990000000023×0.000304219029913733×6371000²
    0.000766990000000023×0.000304219029913733×40589641000000     		ar = 4669843.39832762m²