Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44273 / 95151
↖ ↑ ↗
← S 62.813764°
W 58.400574°		 ← 139.54 m → S 62.813764°
W 58.397827°		 →
↑
139.52 m
↓
↑
139.52 m
↓
S 62.815019°
W 58.400574°		 ← 139.54 m →
19 469 m²		 S 62.815019°
W 58.397827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337779998779297 y=0.725948333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337779998779297 × 217)
    floor (0.337779998779297 × 131072)
    floor (44273.5)     		tx = 44273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725948333740234 × 217)
    floor (0.725948333740234 × 131072)
    floor (95151.5)     		ty = 95151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44273 / 95151 ti = "17/44273/95151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44273/95151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44273 ÷ 217
    44273 ÷ 131072     		x = 0.337776184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95151 ÷ 217
    95151 ÷ 131072     		y = 0.725944519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337776184082031 × 2 - 1) × π
    -0.324447631835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.01928230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725944519042969 × 2 - 1) × π
    -0.451889038085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.41965128224796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01928230} λ = -1.01928230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41965128224796))-π/2
    2×atan(0.241798321564057)-π/2
    2×0.237244665151005-π/2
    0.47448933030201-1.57079632675     		φ = -1.09630700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01928230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.400574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09630700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.813764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44273 KachelY 95151 -1.01928230 -1.09630700 -58.400574 -62.813764
    Oben rechts KachelX + 1 44274 KachelY 95151 -1.01923436 -1.09630700 -58.397827 -62.813764
    Unten links KachelX 44273 KachelY + 1 95152 -1.01928230 -1.09632890 -58.400574 -62.815019
    Unten rechts KachelX + 1 44274 KachelY + 1 95152 -1.01923436 -1.09632890 -58.397827 -62.815019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09630700--1.09632890) × R
    2.19000000001301e-05 × 6371000     		dl = 139.524900000829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09630700--1.09632890) × R
    2.19000000001301e-05 × 6371000     		dr = 139.524900000829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01928230--1.01923436) × cos(-1.09630700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456884249600281 × 6371000     		do = 139.544210028419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01928230--1.01923436) × cos(-1.09632890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456864768867899 × 6371000     		du = 139.538260111316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09630700)-sin(-1.09632890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456884249600281-0.456864768867899)×R²
    abs(-1.01923436--1.01928230)×1.94807323812829e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94807323812829e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94807323812829e-05×40589641000000     		ar = 19469.4768698795m²