Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44272 / 95276
S 62.970205°
W 58.403320°
← 138.77 m → S 62.970205°
W 58.400574°

138.82 m

138.82 m
S 62.971454°
W 58.403320°
← 138.77 m →
19 265 m²
S 62.971454°
W 58.400574°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337772369384766 y=0.726902008056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337772369384766 × 217)
    floor (0.337772369384766 × 131072)
    floor (44272.5)
    tx = 44272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726902008056641 × 217)
    floor (0.726902008056641 × 131072)
    floor (95276.5)
    ty = 95276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44272 / 95276 ti = "17/44272/95276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44272/95276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44272 ÷ 217
    44272 ÷ 131072
    x = 0.3377685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95276 ÷ 217
    95276 ÷ 131072
    y = 0.726898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.3377685546875 × 2 - 1) × π
    -0.324462890625 × 3.1415926535
    Λ = -1.01933023
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.726898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.45379638671875 × 3.1415926535
    Φ = -1.42564339470047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01933023} λ = -1.01933023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42564339470047))-π/2
    2×atan(0.240353771107071)-π/2
    2×0.235879457550573-π/2
    0.471758915101147-1.57079632675
    φ = -1.09903741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01933023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09903741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.970205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44272 KachelY 95276 -1.01933023 -1.09903741 -58.403320 -62.970205
    Oben rechts KachelX + 1 44273 KachelY 95276 -1.01928230 -1.09903741 -58.400574 -62.970205
    Unten links KachelX 44272 KachelY + 1 95277 -1.01933023 -1.09905920 -58.403320 -62.971454
    Unten rechts KachelX + 1 44273 KachelY + 1 95277 -1.01928230 -1.09905920 -58.400574 -62.971454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.09903741--1.09905920) × R
    2.17899999999105e-05 × 6371000
    dl = 138.82408999943m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.09903741--1.09905920) × R
    2.17899999999105e-05 × 6371000
    dr = 138.82408999943m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01933023--1.01928230) × cos(-1.09903741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454453778439399 × 6371000
    do = 138.77292832551m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01933023--1.01928230) × cos(-1.09905920) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454434368446237 × 6371000
    du = 138.767001250596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.09903741)-sin(-1.09905920))×
    abs(λ12)×abs(0.454453778439399-0.454434368446237)×
    abs(-1.01928230--1.01933023)×1.94099931627445e-05×
    4.79300000000293e-05×1.94099931627445e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94099931627445e-05×40589641000000
    ar = 19264.6140817117m²