Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44270 / 95142
↖ ↑ ↗
← S 62.802468°
W 58.408814°		 ← 139.60 m → S 62.802468°
W 58.406067°		 →
↑
139.59 m
↓
↑
139.59 m
↓
S 62.803723°
W 58.408814°		 ← 139.59 m →
19 486 m²		 S 62.803723°
W 58.406067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337757110595703 y=0.725879669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337757110595703 × 217)
    floor (0.337757110595703 × 131072)
    floor (44270.5)     		tx = 44270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725879669189453 × 217)
    floor (0.725879669189453 × 131072)
    floor (95142.5)     		ty = 95142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44270 / 95142 ti = "17/44270/95142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44270/95142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44270 ÷ 217
    44270 ÷ 131072     		x = 0.337753295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95142 ÷ 217
    95142 ÷ 131072     		y = 0.725875854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337753295898438 × 2 - 1) × π
    -0.324493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.01942611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725875854492188 × 2 - 1) × π
    -0.451751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41921985015138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01942611} λ = -1.01942611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41921985015138))-π/2
    2×atan(0.241902663627518)-π/2
    2×0.237343241329976-π/2
    0.474686482659953-1.57079632675     		φ = -1.09610984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01942611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.408814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09610984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.802468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44270 KachelY 95142 -1.01942611 -1.09610984 -58.408814 -62.802468
    Oben rechts KachelX + 1 44271 KachelY 95142 -1.01937817 -1.09610984 -58.406067 -62.802468
    Unten links KachelX 44270 KachelY + 1 95143 -1.01942611 -1.09613175 -58.408814 -62.803723
    Unten rechts KachelX + 1 44271 KachelY + 1 95143 -1.01937817 -1.09613175 -58.406067 -62.803723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09610984--1.09613175) × R
    2.19100000000694e-05 × 6371000     		dl = 139.588610000442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09610984--1.09613175) × R
    2.19100000000694e-05 × 6371000     		dr = 139.588610000442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01942611--1.01937817) × cos(-1.09610984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457059619696073 × 6371000     		do = 139.5977725697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01942611--1.01937817) × cos(-1.09613175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457040132042304 × 6371000     		du = 139.591820538627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09610984)-sin(-1.09613175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457059619696073-0.457040132042304)×R²
    abs(-1.01937817--1.01942611)×1.94876537687461e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94876537687461e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94876537687461e-05×40589641000000     		ar = 19485.8436151645m²