Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44265 / 95269
↖ ↑ ↗
← S 62.961466°
W 58.422546°		 ← 138.84 m → S 62.961466°
W 58.419800°		 →
↑
138.82 m
↓
↑
138.82 m
↓
S 62.962715°
W 58.422546°		 ← 138.84 m →
19 274 m²		 S 62.962715°
W 58.419800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337718963623047 y=0.726848602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337718963623047 × 217)
    floor (0.337718963623047 × 131072)
    floor (44265.5)     		tx = 44265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726848602294922 × 217)
    floor (0.726848602294922 × 131072)
    floor (95269.5)     		ty = 95269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44265 / 95269 ti = "17/44265/95269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44265/95269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44265 ÷ 217
    44265 ÷ 131072     		x = 0.337715148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95269 ÷ 217
    95269 ÷ 131072     		y = 0.726844787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337715148925781 × 2 - 1) × π
    -0.324569702148438 × 3.1415926535     		Λ = -1.01966579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726844787597656 × 2 - 1) × π
    -0.453689575195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.42530783640313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01966579} λ = -1.01966579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42530783640313))-π/2
    2×atan(0.240434437342619)-π/2
    2×0.235955716814665-π/2
    0.47191143362933-1.57079632675     		φ = -1.09888489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01966579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.422546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09888489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.961466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44265 KachelY 95269 -1.01966579 -1.09888489 -58.422546 -62.961466
    Oben rechts KachelX + 1 44266 KachelY 95269 -1.01961785 -1.09888489 -58.419800 -62.961466
    Unten links KachelX 44265 KachelY + 1 95270 -1.01966579 -1.09890668 -58.422546 -62.962715
    Unten rechts KachelX + 1 44266 KachelY + 1 95270 -1.01961785 -1.09890668 -58.419800 -62.962715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09888489--1.09890668) × R
    2.17900000001325e-05 × 6371000     		dl = 138.824090000844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09888489--1.09890668) × R
    2.17900000001325e-05 × 6371000     		dr = 138.824090000844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01966579--1.01961785) × cos(-1.09888489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454589633442271 × 6371000     		do = 138.843375190343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01966579--1.01961785) × cos(-1.09890668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454570224959638 × 6371000     		du = 138.837447340173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09888489)-sin(-1.09890668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454589633442271-0.454570224959638)×R²
    abs(-1.01961785--1.01966579)×1.94084826328211e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94084826328211e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94084826328211e-05×40589641000000     		ar = 19274.393750093m²