Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4426 / 5834
↖ ↑ ↗
← N 74.930856°
W131.374512°		 ← 317.59 m → N 74.930856°
W131.363526°		 →
↑
317.66 m
↓
↑
317.66 m
↓
N 74.927999°
W131.374512°		 ← 317.65 m →
100 895 m²		 N 74.927999°
W131.363526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135086059570312 y=0.178054809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135086059570312 × 215)
    floor (0.135086059570312 × 32768)
    floor (4426.5)     		tx = 4426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.178054809570312 × 215)
    floor (0.178054809570312 × 32768)
    floor (5834.5)     		ty = 5834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4426 / 5834 ti = "15/4426/5834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4426/5834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4426 ÷ 215
    4426 ÷ 32768     		x = 0.13507080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5834 ÷ 215
    5834 ÷ 32768     		y = 0.17803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13507080078125 × 2 - 1) × π
    -0.7298583984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.29291778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17803955078125 × 2 - 1) × π
    0.6439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.02293716396637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29291778} λ = -2.29291778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02293716396637))-π/2
    2×atan(7.56049877819141)-π/2
    2×1.4392932318291-π/2
    2.8785864636582-1.57079632675     		φ = 1.30779014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29291778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.374512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30779014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.930856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4426 KachelY 5834 -2.29291778 1.30779014 -131.374512 74.930856
    Oben rechts KachelX + 1 4427 KachelY 5834 -2.29272604 1.30779014 -131.363526 74.930856
    Unten links KachelX 4426 KachelY + 1 5835 -2.29291778 1.30774028 -131.374512 74.927999
    Unten rechts KachelX + 1 4427 KachelY + 1 5835 -2.29272604 1.30774028 -131.363526 74.927999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30779014-1.30774028) × R
    4.98600000000682e-05 × 6371000     		dl = 317.658060000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30779014-1.30774028) × R
    4.98600000000682e-05 × 6371000     		dr = 317.658060000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29291778--2.29272604) × cos(1.30779014) × R
    0.000191739999999996 × 0.259984534669387 × 6371000     		do = 317.590748330399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29291778--2.29272604) × cos(1.30774028) × R
    0.000191739999999996 × 0.260032679799437 × 6371000     		du = 317.649561243637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30779014)-sin(1.30774028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.259984534669387-0.260032679799437)×R²
    abs(-2.29272604--2.29291778)×4.81451300490821e-05×R²
    0.000191739999999996×4.81451300490821e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.81451300490821e-05×40589641000000     		ar = 100894.602207507m²