Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44258 / 95290
↖ ↑ ↗
← S 62.987675°
W 58.441772°		 ← 138.72 m → S 62.987675°
W 58.439026°		 →
↑
138.70 m
↓
↑
138.70 m
↓
S 62.988922°
W 58.441772°		 ← 138.71 m →
19 239 m²		 S 62.988922°
W 58.439026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337665557861328 y=0.727008819580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337665557861328 × 217)
    floor (0.337665557861328 × 131072)
    floor (44258.5)     		tx = 44258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727008819580078 × 217)
    floor (0.727008819580078 × 131072)
    floor (95290.5)     		ty = 95290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44258 / 95290 ti = "17/44258/95290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44258/95290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44258 ÷ 217
    44258 ÷ 131072     		x = 0.337661743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95290 ÷ 217
    95290 ÷ 131072     		y = 0.727005004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337661743164062 × 2 - 1) × π
    -0.324676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.02000135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727005004882812 × 2 - 1) × π
    -0.454010009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42631451129515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02000135} λ = -1.02000135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42631451129515))-π/2
    2×atan(0.240192519817947)-π/2
    2×0.235727007390042-π/2
    0.471454014780084-1.57079632675     		φ = -1.09934231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02000135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.441772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09934231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.987675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44258 KachelY 95290 -1.02000135 -1.09934231 -58.441772 -62.987675
    Oben rechts KachelX + 1 44259 KachelY 95290 -1.01995341 -1.09934231 -58.439026 -62.987675
    Unten links KachelX 44258 KachelY + 1 95291 -1.02000135 -1.09936408 -58.441772 -62.988922
    Unten rechts KachelX + 1 44259 KachelY + 1 95291 -1.01995341 -1.09936408 -58.439026 -62.988922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09934231--1.09936408) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dl = 138.696670000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09934231--1.09936408) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dr = 138.696670000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02000135--1.01995341) × cos(-1.09934231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454182161449071 × 6371000     		do = 138.718922755291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02000135--1.01995341) × cos(-1.09936408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454162766255962 × 6371000     		du = 138.712998964083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09934231)-sin(-1.09936408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454182161449071-0.454162766255962)×R²
    abs(-1.01995341--1.02000135)×1.93951931082847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93951931082847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93951931082847e-05×40589641000000     		ar = 19239.4418480238m²