Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4423 / 12885
↖ ↑ ↗
← S 71.223149°
W 82.814942°		 ← 786.45 m → S 71.223149°
W 82.792969°		 →
↑
786.31 m
↓
↑
786.31 m
↓
S 71.230221°
W 82.814942°		 ← 786.16 m →
618 281 m²		 S 71.230221°
W 82.792969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269989013671875 y=0.786468505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269989013671875 × 214)
    floor (0.269989013671875 × 16384)
    floor (4423.5)     		tx = 4423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786468505859375 × 214)
    floor (0.786468505859375 × 16384)
    floor (12885.5)     		ty = 12885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4423 / 12885 ti = "14/4423/12885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4423/12885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4423 ÷ 214
    4423 ÷ 16384     		x = 0.26995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12885 ÷ 214
    12885 ÷ 16384     		y = 0.78643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26995849609375 × 2 - 1) × π
    -0.4600830078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44539340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.5728759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79974295933539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44539340} λ = -1.44539340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79974295933539))-π/2
    2×atan(0.165341382218783)-π/2
    2×0.163858935000495-π/2
    0.32771787000099-1.57079632675     		φ = -1.24307846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44539340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.814942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24307846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.223149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4423 KachelY 12885 -1.44539340 -1.24307846 -82.814942 -71.223149
    Oben rechts KachelX + 1 4424 KachelY 12885 -1.44500990 -1.24307846 -82.792969 -71.223149
    Unten links KachelX 4423 KachelY + 1 12886 -1.44539340 -1.24320188 -82.814942 -71.230221
    Unten rechts KachelX + 1 4424 KachelY + 1 12886 -1.44500990 -1.24320188 -82.792969 -71.230221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24307846--1.24320188) × R
    0.000123419999999985 × 6371000     		dl = 786.308819999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24307846--1.24320188) × R
    0.000123419999999985 × 6371000     		dr = 786.308819999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44539340--1.44500990) × cos(-1.24307846) × R
    0.00038349999999987 × 0.321883191794262 × 6371000     		do = 786.45028202203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44539340--1.44500990) × cos(-1.24320188) × R
    0.00038349999999987 × 0.321766337830865 × 6371000     		du = 786.164775245622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24307846)-sin(-1.24320188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321883191794262-0.321766337830865)×R²
    abs(-1.44500990--1.44539340)×0.000116853963397223×R²
    0.00038349999999987×0.000116853963397223×6371000²
    0.00038349999999987×0.000116853963397223×40589641000000     		ar = 618280.545781938m²