Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4422 / 12887
↖ ↑ ↗
← S 71.237289°
W 82.836914°		 ← 785.86 m → S 71.237289°
W 82.814942°		 →
↑
785.74 m
↓
↑
785.74 m
↓
S 71.244356°
W 82.836914°		 ← 785.57 m →
617 365 m²		 S 71.244356°
W 82.814942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269927978515625 y=0.786590576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269927978515625 × 214)
    floor (0.269927978515625 × 16384)
    floor (4422.5)     		tx = 4422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786590576171875 × 214)
    floor (0.786590576171875 × 16384)
    floor (12887.5)     		ty = 12887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4422 / 12887 ti = "14/4422/12887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4422/12887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4422 ÷ 214
    4422 ÷ 16384     		x = 0.2698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12887 ÷ 214
    12887 ÷ 16384     		y = 0.78656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44577689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.5731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80050994972931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44577689} λ = -1.44577689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80050994972931))-π/2
    2×atan(0.165214615587513)-π/2
    2×0.163735539151196-π/2
    0.327471078302392-1.57079632675     		φ = -1.24332525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44577689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.836914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24332525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.237289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4422 KachelY 12887 -1.44577689 -1.24332525 -82.836914 -71.237289
    Oben rechts KachelX + 1 4423 KachelY 12887 -1.44539340 -1.24332525 -82.814942 -71.237289
    Unten links KachelX 4422 KachelY + 1 12888 -1.44577689 -1.24344858 -82.836914 -71.244356
    Unten rechts KachelX + 1 4423 KachelY + 1 12888 -1.44539340 -1.24344858 -82.814942 -71.244356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24332525--1.24344858) × R
    0.000123329999999866 × 6371000     		dl = 785.735429999147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24332525--1.24344858) × R
    0.000123329999999866 × 6371000     		dr = 785.735429999147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44577689--1.44539340) × cos(-1.24332525) × R
    0.000383490000000153 × 0.321649526309103 × 6371000     		do = 785.858879875208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44577689--1.44539340) × cos(-1.24344858) × R
    0.000383490000000153 × 0.321532747767724 × 6371000     		du = 785.573564815756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24332525)-sin(-1.24344858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321649526309103-0.321532747767724)×R²
    abs(-1.44539340--1.44577689)×0.000116778541379037×R²
    0.000383490000000153×0.000116778541379037×6371000²
    0.000383490000000153×0.000116778541379037×40589641000000     		ar = 617365.074604257m²