Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4420 / 12867
↖ ↑ ↗
← S 71.095425°
W 82.880859°		 ← 791.58 m → S 71.095425°
W 82.858887°		 →
↑
791.47 m
↓
↑
791.47 m
↓
S 71.102543°
W 82.880859°		 ← 791.30 m →
626 401 m²		 S 71.102543°
W 82.858887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269805908203125 y=0.785369873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269805908203125 × 214)
    floor (0.269805908203125 × 16384)
    floor (4420.5)     		tx = 4420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785369873046875 × 214)
    floor (0.785369873046875 × 16384)
    floor (12867.5)     		ty = 12867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4420 / 12867 ti = "14/4420/12867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4420/12867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4420 ÷ 214
    4420 ÷ 16384     		x = 0.269775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12867 ÷ 214
    12867 ÷ 16384     		y = 0.78533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.46044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.44654388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.5706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7928400457901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44654388} λ = -1.44654388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7928400457901))-π/2
    2×atan(0.166486667841763)-π/2
    2×0.164973538312484-π/2
    0.329947076624968-1.57079632675     		φ = -1.24084925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44654388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.880859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24084925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.095425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4420 KachelY 12867 -1.44654388 -1.24084925 -82.880859 -71.095425
    Oben rechts KachelX + 1 4421 KachelY 12867 -1.44616039 -1.24084925 -82.858887 -71.095425
    Unten links KachelX 4420 KachelY + 1 12868 -1.44654388 -1.24097348 -82.880859 -71.102543
    Unten rechts KachelX + 1 4421 KachelY + 1 12868 -1.44616039 -1.24097348 -82.858887 -71.102543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24084925--1.24097348) × R
    0.000124230000000169 × 6371000     		dl = 791.46933000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24084925--1.24097348) × R
    0.000124230000000169 × 6371000     		dr = 791.46933000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44654388--1.44616039) × cos(-1.24084925) × R
    0.000383489999999931 × 0.323992960348108 × 6371000     		do = 791.584392578239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44654388--1.44616039) × cos(-1.24097348) × R
    0.000383489999999931 × 0.323875428877662 × 6371000     		du = 791.297237951355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24084925)-sin(-1.24097348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323992960348108-0.323875428877662)×R²
    abs(-1.44616039--1.44654388)×0.000117531470445909×R²
    0.000383489999999931×0.000117531470445909×6371000²
    0.000383489999999931×0.000117531470445909×40589641000000     		ar = 626401.13259961m²